Главная Математика в комиксах: зачем нужна математика, основные..

Математика в комиксах: зачем нужна математика, основные теории, системы и многое другое…

, ,
0 / 0
Насколько Вам понравилась эта книга?
Какого качества скаченный файл?
Скачайте книгу, чтобы оценить ее качество
Какого качества скаченные файлы?
Зачем нужна математика?
Что такое особенные числа?
Как открыли тригонометрию?
Как появилась европейская математика?
Неопределенность и вероятность.
На эти и другие вопросы ответит книга «Математика в комиксах».
Перед вами уникальная история математики от Древнего мира до современности, прогресс и парадоксы этой удивительной науки.
Год:
2019
Издание:
1
Издательство:
Эксмо
Язык:
russian
Страницы:
176 / 179
Серии:
Наука в комиксах
Файл:
PDF, 96,61 MB

Возможно Вас заинтересует Powered by Rec2Me

 
0 comments
 

To post a review, please sign in or sign up
Вы можете оставить отзыв о книге и поделиться своим опытом. Другим читателям будет интересно узнать Ваше мнение о прочитанных книгах. Независимо от того, пришлась ли Вам книга по душе или нет, если Вы честно и подробно расскажете об этом, люди смогут найти для себя новые книги, которые их заинтересуют.
1

A Máquina do Tempo [ATBC]

Год:
2010
Язык:
portuguese
Файл:
EPUB, 356 KB
0 / 0
2

20 Mil Léguas Submarinas [ATBC]

Год:
2014
Язык:
portuguese
Файл:
EPUB, 6,90 MB
0 / 0
Зияуддин Сардар, Джерри Рейвиц, Борин ван Лун

МАТЕМАТИКА
в комиксах

ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМА ТИКА,
ОСНОВНЫ Е ТЕОРИИ, СИСТЕМЫ ,
И МНОГОЕ ДРУГОЕ.. .

УДК 51
ББК 22.1
З-66

INTRODUCING MATHEMATICS
Ziauddin Sardar and Jerry Ravetz
© 2013 Icon Books Ltd

Перевод Е. Васильченко

З-66

Зияуддин, Сардар.
Математика в комиксах: зачем нужна математика, основные
теории, системы и многое другое… / Зияуддин Сардар, Джерри
Рейвиц, Борин ван Лун ; [пер. с англ. Е. Васильченко]. — Москва :
Эксмо, 2019. — 176 с. : ил. — (Наука в комиксах).
ISBN 978-5-04-098759-7
Зачем нужна математика?
Что такое особенные числа?
Как открыли тригонометрию?
Как появилась европейская математика?
Неопределенность и вероятность.
На эти и другие вопросы ответит книга «Математика в комиксах».
Перед вами уникальная история математики от Древнего мира до современности, прогресс и парадоксы этой удивительной науки.
УДК 51
ББК 22.1

ISBN 978-5-04-098759-7

© Васильченко Е., перевод на русский язык, 2018
© ИП Сирота Э. Л., 2018
© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2019

Почему математика?
Многие вздрагивают при одном только упоминании слова «математика».
Они думают, что люди делятся на две категории. «Умников» — хорошо
знающих математику, но с кем скучно на вечеринке…

...и всех остальных!

Смотрите
в оба,
общаясь с
математиками,
хорошо?

3

Но, как бы то ни было, математика нужна всем нам. Без математики
жизнь немыслима.
Математика нужна
нам в магазине,
для проверки
наших счетов и
управления семейным
бюджетом...

...и чтобы вести
свой бизнес.

Математика
нужна,
чтобы строить
дома...

...страховать
автомобили,
выполнять
банковские
операции.

Математика нужна
для создания карт
и поиска путей
между городами...

...путешествий
по миру и даже
для полетов
в космос!

4

Математика
—
...и
чтобы вести
это двигатель
нашей
свой бизнес
индустриальной
цивилизации.

Это язык
науки, техники
и инженерного
дела.

Она нужна архитекторам
и дизайнерам, экономистам
и медикам.

Даже искусство
в какой-то степени
опирается на
математику.

5

Оба преодолеваются
с помощь; ю
практики.

Музыка есть
тайное упражнение
в арифметике,
ведущей счет, но
не сознающей
этого души.

6

Начинающие
осваивать математику
в какой-то степени
повторяют путь,
пройденный
человечеством.

Счет

Если такого числа не
существует, то что же
там в конце?

7

Поэтому мы ведем
свои летописи и отмечаем
знаменательные события,
ведя счет зимам, как
здесь.

8

Выглядит примитивно,
и вести такой счет
утомительно.

Тем не менее
двоичная система,
в которой только две
цифры — 0 и 1...

...встроена
в цифровые
компьютеры и
служит основой
для всех
вычислений.

9

Неужели кто-то
еще умудрялся
вычислять
проценты?

Неудивительно,
что покупку в
кредит называли
«никогданикогда»* —

*

10

ты никогда
не закончишь
платить!

В английском never-never — покупка
в рассрочку — переводится как
«никогда-никогда».

Те, кто имеет
дело с компьютерами,
используют систему
счисления с
основанием 2.

11

После выбора основания
для системы счисления можно
определить четыре базовые
арифметические
операции...

...которые легко
запоминаются.

12

Запись чисел

Счет не требует наличия письменности в культуре. Но чтобы выполнять вычисления, в этом случае нужно обладать
недюжинной памятью и особыми навыками. По мере распространения письменности в разных цивилизациях возникали разные, порой очень сложные системы записи чисел.

Ацтеки использовали систему счисления с основанием
20 и четырьмя базовыми символами.
Число 1 обозначалось кружком —
зерном маиса.
Число 20 обозначалось флагом.

Число 400 изображалось стеблем маиса.

Число 8000 обозначалось изображением
соломенной куклы из стеблей маиса.

Этими символами можно изобразить любое число. К примеру, число 9287 изображается так:

13

В системе записи чисел майя было только три символа:

...большая
точка изображала
единицу,
...черта
изображала
пятерку,

...а ракушка –
ноль.

14

Древние египтяне (4000–3000 лет до н. э.) использовали для записи
чисел пиктографическое письмо (иероглифы).

Первая пиктограмма
изображала единицу, а
каждая последующая —
число в 10 раз больше
предыдущего, и так до
десяти миллионов.

15

Вавилоняне (2000 лет до н. э.) использовали систему счисления с основанием 60 и обозначали цифры следующими символами:

Позднее они развили систему, основанную только на двух знаках:
обозначал 1 (или 60, в зависимости от позиции)

и обозначал 10

Число 95 в этой системе можно записать так:

Знаешь, я уже
потерял счет
моим женам...
Да уж... Как
вавилонянин, я мог
бы провести еще
почти целый час
сегодня утром
в постели...

Я пойду к
подножию нашей
башни!

Вавилонская шестидесятеричная система сохранилась и по сей день.
В круге 360 градусов. В часе шестьдесят минут. В минуте шестьдесят
секунд.
16

Древние китайцы (1400–1100 лет до н. э.) использовали систему счисления с основанием 10 и символы, обозначавшие числа от одного до
десяти, сто, тысячу и десять тысяч. Позже, около III века до н. э., китайцы
придумали систему записи чисел с использованием прямых линий (прутиков).

17

Китайцы сделали великое изобретение, отделив запись чисел от устного
счета. В этой системе значение цифры зависело от ее местоположения в
записи числа. Так, «2» могла означать два, 20 или 200, в зависимости
от местоположения. Это сделало ненужным обозначение оснований более высоких порядков — мы знаем, что 2 в числе «234» означает 200.

Элементарно,
мой дорогой Ватсон. Вот
число 2689, изображенное
фигурами, размеры которых
пропорциональны обозначаемым
ими величинам! Это и есть
зависимость «значения» от
«местоположения»...

Цифра «9» такая
маленькая,
что мне пришлось
взять лупу, чтобы
прочитать ее.

18

Индийцы разработали три разные системы
счисления.
В Кхароштхи (400–200 лет до н. э.) использовались отдельные символы для обозначения
чисел десять и двадцать и числа до сотни конструировались путем сложения.
В Брахми (300 лет до н. э.) использовались
отдельные символы для цифр один, четыре,
девять, десять, сто, тысяча и так далее.
В Гвалиоре (примерно 850 год н. э.) использовались символы для чисел от одного до девяти
и нуля.

Задумайте
число... Теперь
удвойте его...
утройте...
учетверите...

Индийцы не испытывали сложностей с обозначением больших чисел. В древних индуистских
текстах можно встретить названия довольно
больших чисел, таких как 1 000 000 000 000
(parardha)!
19

У древних греков (900 год до н. э. —
200 год н. э.) существовали две параллельные системы. Первая была
основана на начальных буквах названий 17 чисел. Так, цифра пять обозначалась буквой пи, десять — буквой
дельта, сто — античной формой буквы H и так далее. Вторая возникла
в III веке до н. э., в ней использовались все буквы греческого алфавита
и еще три из финикийского алфавита, образуя в сумме 27 числовых символов. Первые девять букв алфавита
означали числа от 1 до 9; следующие
девять обозначали десятки от 10 до
90; и последние девять описывали
сотни от 100 до 900.

Мы, греки, боролись
с большими числами,
и наша форма записи
делала невероятно
трудным выход за рамки
«мириада» (10 000).

20

Римская система записи (400 год
до н. э. — 600 год н. э.) имела всего
семь символов: I для 1, V для 5, X
для 10, L для 50, C для 100, D для
500 и M для 1000.
Числа записываются слева направо,
цифры с наибольшими значениями
располагаются слева и суммируются
для получения обозначенного числа.
Например, LX — это число 60.
Если слева находится цифра с меньшим значением, она должна вычитаться из цифры справа. Например,
MCM обозначает число 1900.
Римские цифры и по сей день используются как украшение, но для
быстрых вычислений они не подходят.

Ой! Часылицо!

21

Использование алфавита для записи чисел способствовало зарождению и развитию искусства гадания, называемого «гематрия». Взяв
любое слово, например имя, в нем можно переставить буквы, чтобы
сформировать число, и затем тщательно изучить его качества и значения. Любой, чье имя давало 666 (библейское «число зверя»), был,
очевидно, злом во плоти!

Только благодаря
мне, Декарту, и моим
последователям в Европе
математика стала полностью
«свободной от иллюзий», по
крайней мере для
образованной элиты.

Теперь прекрати
нести этот бред,
или я наложу на
тебя проклятье.

Плохие новости,
добрый юноша!
Ваше имя содержит
число «Порождения
Сатаны».

Я держу лекарство
от этого недуга,
моя леди.

Говорят, что
во Второй мировой войне
некоторые христианефундаменталисты
ополчились против меня,
потому что в моем имени
было открыто
число 666.

Ты
смотришь
на мою
кружку
пива?

22

Мусульманская цивилизация (с 650 года н. э. по нынешнее время)
создала две системы записи чисел. Они были похожи, но одна использовалась в восточной части мусульманского мира (Аравия и Персия),
а другая — в западной (Магриб и мусульманская Испания). Обе содержали по десять символов, от нуля до девяти.
Восточный набор:
Западный набор: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Восточный набор все еще используется в арабском мире. Западный
набор теперь известен как «арабские цифры» — и этой системой мы
пользуемся сейчас.

Следующий
автобус 971,
я полагаю.

Нет, это
250, неужели
вы не
видите?

Не спрашивай меня,
я не разбираюсь в
этих новомодных
западных штуках.

23

Ноль
Ноль — относительно позднее изобретение (около VI века н. э.) и, по всей
видимости, является совместным продуктом китайской и индийской
цивилизаций. Китайцам нужно было как-то обозначить пустое место
в их позиционной форме записи чисел. Например, как представить пустое место в числе «двести пять»? Просто написать 25 — неправильно,
нужно чем-то «заполнить» пустое, чтобы получить запись вида 2–5. Но
полное понимание нуля было развито в индийской цивилизации, где
философские спекуляции на пустоте были сильно развиты.

Ответ —
большое
ничто.

24

Такого рода культурный
фон был крайне важен,
потому что ноль весьма
своеобразен. В одних
случаях он ведет себя
как обычное число —
его без ограничений
можно использовать
в операциях сложения.

Но умножение
на ноль дает
в результате ноль.
Это позволяет
создавать парадоксы
с использованием
уравнений, таких
как 2 х 0 = 4 х 0.
Если в нем сократить
ноль, получится
2 = 4.

А что
получится...

...если
разделить
что-нибудь
на ноль?
Бесконечность!

Хотя ноль необходим для расчетов, мы исключаем его из счета. Первый
элемент в ряду мы не называем «нулевым». Этот парадокс проявляется
в календаре: 1900 год относятся к ХХ столетию, потому что в западном
календаре, ведущем отсчет от Рождества Христова, нет нулевого века.
25

Кроме того, ноль имеет два значения, как, например, в «шутке про
окаменелость». Музейный гид рассказывает школьной экскурсии:

Этой окаменевшей
кости шестьдесят
пять миллионов лет
и четыре года.

Откуда такая
точность?

Ну, когда я устроился
на эту работу, мне сказали,
что ей 65 000 000 лет... а
было это четыре года
назад.

Разумеется, все видят, что это
смешно, но одна из учениц сложила…
…прямо как ее научили в школе! Никто не
сказал ей, что шесть нулей после 65 — это лишь
«заполняющие» цифры, не «счетные». В таких
случаях действует не только правило 0 × 4 = 0, но
также 0 + 4 = 0! Возможно, именно такие парадоксы (от которых ученики сейчас надежно защищены) заставляли математиков прошлого
с подозрением относиться к таким странным числам, как ноль.
26

Особенные числа
Кроме нуля,
есть другие
виды особенных
чисел, которые
важно знать.

Некоторые из них — «числа
с личностью» – можно рассматривать как обладающие
магическими свойствами.
Числа 3, 5, 7 и 13 — все они по-своему особенные.
Существуют также числа, привлекающие внимание
своими арифметическими свойствами.
Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на 1.
Совершенные числа —это числа, равные сумме всех своих
собственных делителей. То есть число 6, кратное числам
1, 2 и 3, является совершенным, потому что 1 + 2 + 3 = 6.
Разрезаем
пирог…

Другое такое число
это 28 = 1 + 2 + 4 +
7 + 14. Следующее 496...
попробуйте вычислить
еще одно!

В древние времена
такие числа считались
особенными — отсюда
и название.

27

Отрицательные числа — это числа меньше нуля (как
температура в холодный день) и обозначаются
знаком минус. Они незаменимы, но имеют
свои парадоксы, например: (–1) × (–1) = +1.
Дробное, или рациональное, число — величина, которую можно выразить как отношение
двух целых чисел, например 2/3. Такие числа необходимы
для вычислений, но их нельзя использовать для счета
(поскольку нет ни «единичной» дроби, ни «последующего
значения», подобно тому как 5 следует за 4). Поэтому прошло много времени, прежде чем они
были признаны числами. Кроме того, к ним
применяются свои, особые правила арифметики, довольно сложные для понимания.

= 11/15
Да они
же изображают
числа, вот
черт!

28

Все перечисленные типы чисел были известны в других
великих цивилизациях, таких как индийская или китайская. По мере развития теоретической математики,
сначала в Греции, постоянно выявлялись новые странные
свойства чисел, для которых придумывались новые типы.

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить отношением двух целых чисел. Важным примером является число √2,
порожденное геометрическими операциями. Это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами
единичной длины. Такие числа
называют иррациональными.

Некоторые величины
являются слишком
«иррациональными» из-за
невозможности выразить их
даже числами, получаемыми
в результате алгебраических
операций.

Наиболее
известным является
число «пи», или π , —
Пи
отношение
длины
окружности
к ее
диаметру.

Задача приведения
этого отношения
к иррациональному
числу была названа
задачей «квадратуры круга». Математики пытались
решить ее столетиями, пока наконец
не было доказано,
что это невозможно. Такие числа
были названы...

«пи»...
«Пи»...
«пирог»,
намек
понятен?

...«трансцендентными».

29

Мнимые числа получаются, когда действительные числа умножаются
на «мнимую» величину, квадратный корень из минус единицы (√–1).
Когда мнимые числа прибавляются к обычным, или действительным
числам, сумма называется комплексным числом.
Такие числа проще
представлять как точки
на плоскости, и они
имеют свою, особую
арифметику.

КОМПЛЕКСНАЯ
ПЛОСКОСТЬ

Комплексные числа
используются для
представления регулярно
изменяющейся величины,
такой как переменный
электрический ток.

30

Большие числа
Многие из нас испытывают благоговейный страх перед большими
числами, потому что их реальная величина с трудом поддается оценке.

Насколько
велик
миллиард?
Это тысяча
миллионов.

Миллиард дней назад
человек только собирался
появиться на планете
Земля.

Миллиард минут со дня
рождения Христа прошел
в 1903 году. Миллиард
секунд назад родились
люди, которым сейчас
тридцать один год.

Сто миллиардов кажется еще более колоссальным числом. Но в наше
время для страны, в особенности развивающейся страны, такая сумма
долга — в порядке вещей. Если страна-должник
с таким долгом будет платить по одному
фунту/доллару в секунду, двадцать
четыре часа в сутки, семь дней
в неделю и пятьдесят две недели в году, она выплатит
долг за 3180 лет…
31

Как легко достичь больших чисел, иллюстрирует пример с известными
«письмами счастья». Человек отправляет письмо двум друзьям с просьбой к каждому из них скопировать письмо и отправить его двум своим
друзьям и так далее. Первый человек посылает 2 письма; на втором
шаге, будет послано 2 × 2, или 4 письма; на третьем шаге — 2 × 2 × 2,
или 8 писем. Сколько шагов потребуется, чтобы количество писем достигло миллиарда?
Тридцатая
группа
людей в
этой цепочке
пошлет
1 073 741
824 письма!

Но в
действительности
этого никогда не
случится! У людей
просто закончатся
друзья.

32

Степени
Отличная
гроза! Силы
наполняют
меня!

Обычна форма записи миллиарда выглядит громоздкой:
1 000 000 000.
К счастью, для больших чисел есть более
удобная форма записи.
Взгляните, чему на самом
деле равен миллиард:
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 ×
10 × 10 × 10
То есть если произведение двух
десяток можно обозначить как
102, трех — как 103 и так далее,
тогда миллион можно записать как
106, а миллиард — как 109. Более
того, пять миллиардов можно записать как 5 × 109.
Возведение в степень означает всего
лишь умножение числа на само себя столько раз, сколько указано в степени. То есть
25 означает 2 × 2 × 2 × 2 × 2, или 32.
33

Рассмотрим поближе эту форму
записи на примере следующей
задачи.
Какое
наибольшее
число можно
записать тремя
двойками?

Вот какие
возможны
варианты.

2

Наименьшее из них 22 = 24 = 16. Затем идет 222. Потом 222 = 484.
И наибольшее — 222 = 4 194 304.
Форма записи степени применима также к дробям. Чтобы превратить
степень в дробь, достаточно добавить знак минус перед показателем
степени. То есть 10–1 означает 1/10; 10–2 — это 1/100; 10–3 — 1/1000
и так далее.
34

Степенное отношение
помогает выразить закон
увеличения чего-либо.
Например, если
расстояние между
проектором и
экраном удваивается,
изображение на экране
становится больше не в
два раза, а в четыре.

Если расстояние
утраивается, площадь
изображения увеличивается
в девять раз.

Аналогично, если увеличить
фотографию или карту в x раз,
нам потребуется в x2 раз больше
бумаги.

x, x2, x3, x4 и x5 называются первой, второй, третьей, четвертой и пятой
степенями x. Ранее степени описывались как «квадратные» и «кубические» в соответствии с их геометрическим смыслом. Разумеется, вместо
2, 3, 4 или 5 можно использовать любые числа. Символ n в показателе
степени означает «любое число», то есть о выражении xn мы говорим,
что это n-ная степень x.

Долгое время
математики приходили
в замешательство от
больших степеней; они
не могли вообразить
гиперпространство, форму
которого описывали.

35

В своей «Блестящей книге о науке арифметики», написанной в девятнадцатилетнем возрасте, мусульманский математик Самау-аль-Яхья
аль-Маграби (умер в 1175) впервые ввел определение…

Любое число,
возведенное в
нулевую степень,
есть единица.

Потому что, если
умножить любое число
само на себя «вообще
ни разу», получится
единица.

36

Логарифмы
Логарифм — это степень, в которую
нужно возвести число, чтобы получить другое число. Первое число
называется основанием. Поскольку
102 = 100, log10 100 = 2. Мы читаем
это как: логарифм по основанию 10
из сотни равен 2.
Наиболее часто в практике используются логарифмы с основанием
10 и числом e (смотрите ниже).
Так же как x0 = 1 для любого x,
log 1 = 0 для любого основания.
Чтобы умножить или разделить
два выражения с логарифмами,
мы используем тот факт, что умножение и деление степеней числа
соответствуют сложению и вычитанию их показателей степеней.
То есть логарифм произведения
log (x×y) равен сумме логарифмов
log x + log y.

Лог-а-Рифма
Лог-аМузыка...

Сложение куда
как проще
умножения.

37

Логарифмы — это великое средство упрощения длинных и сложных
вычислений. Для умножения (или деления) двух чисел можно просто
найти их «логарифмы» в таблице, сложить (или вычесть) их и, наконец,
найти результат в таблице и прочитать сумму (или разность).

l

2
2,
g
lo

og

3

=

4
42
3
,
=0

7
47
,
0

1

Мне придется
использовать мои
логарифмические
правила и
логарифмические
таблицы...

Первые таблицы были созданы шотландским
математиком Джоном Непером (1550–1617). Логарифмы в них имели основания e и назывались «натуральными» (из-за основания) или «неперианскими»
(в честь изобретателя).
38

Вычисления
Процесс манипулирования числами различных типов, чтобы получить ответ, мы
называем вычислением. Все математические операции включают в себя вычисления.
Когда-то вычисления производились с помощью камней. Древние греки использовали
гальку для счета и простых вычислений. Корень английского слова «calculate»1 имеет латинское происхождение и означает «галька».

До недавнего времени для расчетов широко использовались счеты с костяшками на
стержнях. Даже сегодня опытные счетоводы
управляются с костяшками на счетах намного
быстрее, чем операторы с цифровыми клавиатурами!
1

«Вычисление». — Прим. перев.
39

Вычислительные устройства бывают двух основных видов: сумматоры,
ограниченные сложением и вычитанием, и калькуляторы, которые
выполняют не только умножение и деление...

...а также имело
множество других
функций.

Первый сумматор
был изобретен
французским математиком Блезом
Паскалем (1623–
1662) в 1642 году
и мог только складывать с переносом. В 1671-м
немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм
Лейбниц (1646–
1716) сконструировал устройство,
которое могло умножать за счет
многократного сложения.

40

В 1822-м английский
математик и изобретатель Чарльз Беббидж
(1792–1871) построил
маленькую счетную машину. Десятью годами
позже он задумал свою
«разностную машину»,
предшественницу цифрового компьютера. Затем
он приступил к реализации более амбициозного
проекта — «аналитической машины», которая
так и не была завершена.
Однако была создана копия части этой машины,
которая сейчас находится
в Музее науки в Лондоне.

Вычислений, какими
бы сложными они
ни были, не всегда
достаточно для решения
задачи. Иногда требуется
решать уравнения.

41

Уравнения
Уравнения — это самая сердцевина математики. За исключением
элементарной математики, уравнения используются во всех разделах
академической и прикладной математики, а также в физических, биологических и социальных науках.
Как следует из названия, уравнение — это утверждение о равенстве
двух выражений. Обычно уравнения включают неизвестные величины; чаще их называют переменными, реже — константами или даже
параметрами. Уравнения также можно использовать для определения
величин или выражения отношений между переменными.

Когда уравнение
используется для
выражения задачи
поиска значения одной
из переменных, такая
переменная
называется...

...«неизвестным».

До изобретения уравнений математические задачи решались множеством хитроумных и сложных методов. Теперь все свелось к очень
простой форме.
42

В уравнении 5x + 8 = 23, x — это неизвестное значение, которое требуется найти. Можно пойти путем проб и ошибок, а можно выполнить
пару простых операций (вычесть 8 из обеих частей, а затем разделить
обе части на 5).

Уравнения
похожи на весы
с набором гирь,
где знак равенства
является точкой
баланса.

Это — «x», или «неизвестная
величина». Таких величин тут
пять.

Это уравнение «удовлетворяется», или «решается», когда x = 3, потому
что в этом случае обе стороны уравнения становятся одинаковыми.
Уравнение, которому удовлетворяют любые значения переменных,
называется тождеством. Например, уравнение (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 —
это тождество, потому что оно истинно для всех возможных значений
неизвестных. Такие тождества весьма полезны при алгебраических
преобразованиях, поскольку позволяют заменить сложные выражения
простыми.
43

Линейное уравнение содержит только
переменные в первой степени, как
в уравнении 5x + 8 = 23. Они
называются линейными, потому что их
графики являются прямыми линиями.

В квадратных уравнениях
имеется единственная переменная, возведенная в
степень 2. Такие уравнения всегда имеют два корня,
которые, впрочем, могут быть равны друг другу.
Например, оба уравнения, x2 = 4 и 2x2 – 3x + 3 = 5,
являются квадратными. Их корнями являются
соответственно, (+2, –2) и (2, –1/2). Примером
уравнения с двумя одинаковыми корнями может
служить x2 – 4x + 4 = 0. Оно имеет
два корня x = 2.

В кубических уравнениях имеется
единственная переменная в степени 3.
Кубические уравнения всегда имеют три корня,
из которых два или все три могут быть
равны друг другу и два (но никогда не три!)
могут быть комплексными. Пример кубического
уравнения: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0; его корни
x = 1, 2, 3.

44

Линейные, квадратные и кубические уравнения называются уравнениями первой, второй и третей степени соответственно. Для уравнений
до четвертой степени включительно корни уравнения можно выразить
с помощью формул, включающих арифметические действия и квадратные корни. Вот как выглядит формула решения квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0:

Выражение под знаком
квадратного корня (3)
может быть меньше нуля
(отрицательное); такое
уравнение будет иметь пару
комплексных корней.

45

Нет ограничений на степень алгебраических уравнений. Но на уравнениях пятой степени наблюдается
разрыв. На протяжении столетий
математики пытались найти формулу из арифметических операций
и квадратных корней для решения
уравнений пятой степени. Наконец
в начале XIX века было доказано,
что это невозможно.

Уравнения могут иметь более одной переменной в каждом члене. Примером может
служить простое уравнение
xy = 1, описывающее геометрическую фигуру — гиперболу.

Степень уравнения определяется как сумма степеней
переменных в члене с наибольшей степенью. Например, в уравнении ax5 + bx3y3 +
cx2y5 = 0 член с наибольшей
степенью — это cx2y5.

Сумма степеней в этом
члене равна 7, поэтому
это уравнение седьмой
степени.

46

А теперь
третьей
степени!

Системы
уравнений
включают две
переменные.
О нет, опять
двойная
математика...

Одно уравнение с двумя переменными, как правило, неразрешимо.
Но если число уравнений совпадает с числом переменных, их можно
решить по каждой переменной. Система уравнений включает два или
более уравнения с двумя или более
неизвестными. Иногда они решаются
простыми действиями.
Например:

1.

2x + xy + 3 = 0
x + 2xy = 0
2. Если умножить первое уравнение на 2, получится:
4x + 2xy + 6 = 0

3. Если теперь вычесть из него
второе уравнение, получится:
3x + 6 = 0
4. То есть

x = –2

Теперь, если подставить это значение в первое уравнение, мы найдем
значение y = –1/2.
Иногда таким способом можно решить более сложные системы уравнений.

Большинство из
них нельзя решить
напрямую, поэтому
для них используются
приближенные
решения.

Существует также
множество других типов
математических уравнений,
таких как тригонометрические,
логарифмические,
дифференциальные и
интегральные. Мы
поговорим о них
позже.

47

Измерения
Измерения — неотъемлемая часть математики.
Мы измеряем практически все: отрезки времени,
габариты, массу, объем, длину и высоту, электричество, тепло, свет и даже расстояние до звезд
и энергию субатомных частиц. Сейчас мы измеряем даже умственные
способности и качество таких вещей, как окружающая среда.

Самыми первыми
единицами измерения
были ширина ладони..

...длина ступни и
расстояние от локтевого
сустава до кончика
среднего пальца,
известная как локоть.

48

Но сейчас наши
измерения основаны
на науке.

Международная система единиц (СИ) произошла от метрической системы, введенной
во времена Французской революции. Она содержит связанный набор единиц измерения,
производных от основных величин, таких как
метр (м) для длины, секунда (c) для времени
и килограмм (кг) для массы. Большая часть
практических измерений выражается в единицах, являющихся степенями числа десять, как,
например, миллиметры (мм) для длины.

Время
стало исключением —
попытка французских
реформаторов разделить
месяц на три декады
по десять дней, а потом
день на десять часов по
сто минут была очень
непопулярной, и поэтому мы
по-прежнему используем
систему, изобретенную в
Вавилоне.

49

Каждая из основных единиц имеет свои процедуры определения и измерения, которые контролируются официальными международными
комитетами. Определения меняются, когда появляются лучшие методы.

Сначала метр
определялся как одна
сорокамиллионная часть
окружности Земли; в
этом веке он измерялся
скоростью света; а теперь
он измеряется длиной
волны определенного
цвета.

Многие страны все еще используют старую «имперскую» систему, включающую фунты и ярды, пинты
и кварты. Но будьте осторожны: американские пинта, кварта и галлон — это только четыре пятых от
больших английских аналогов, так что эти «жрущие
бензин» автомобили, пробегающие меньше миль
на одном галлоне...
...не так
плохи, как
кажутся!

Проклятые
колонисты!

50

Счет и вычисления оперируют отдельными, дискретными величинами,
включая точные числа. Измерения, в отличие от них, оперируют непрерывными величинами. Измерения не бывают точными. Сравнивая
измеряемый объект с единицей измерения, мы всегда интерполируем
измерение между точками в самом точном масштабе. И каждый отчет
о сложном измерении имеет (или обязан иметь!) шкалу погрешностей,
определяющую величину неопределенности.

Измерения
без шкалы
погрешностей — это
как продукты без
марки; потребитель
лишен важной
информации об их
качестве.

И он говорил об
этом всю свою
жизнь!

51

Измерения использовались для строительства и проектирования еще
с доисторических времен. Археологи обнаружили, что древние памятники, такие как Стоунхендж, были построены с высокой точностью,
пригодной для астрономических наблюдений, и их наземные планы
требовали геометрических построений для проектирования. Церкви
средневековой Европы проектировались с точным соблюдением пропорций, в эпоху Возрождения в основе архитектуры и искусства лежала
теория «божественной пропорции». А великие пирамиды Египта стали
загадкой для целых поколений археологов.

Были ли их пропорции
выражением особой магии
чисел?

52

Я все еще думаю,
что было бы
выгоднее вложиться в
консерваторию.

Математика
проектирования
связала прикладную
математику и математику
«теоретическую», которая
была так развита в
греческой цивилизации.

В разметке плана
на земле было
очень удобно иметь
возможность отмерять
прямые углы.

Вавилонянам было
хорошо известно, что
некоторые треугольники
имеют прямой угол.

Если стороны
треугольника равны
3, 4, 5 или 5, 12, 13,
тогда угол напротив
длинной стороны
является квадратным,
или прямым.

Эти числа связаны особым
отношением: так,
32 + 42 = 52 и 52 +
122 = 132.

Вавилонские математики нашли много
таких троек, без всякого сомнения, применяя специальные
вычислительные
приемы для их получения.

Но теорию
создали
греки.

53

Греческие математики
Начиная с VII века до н. э. греки постепенно отделяли изучение законов природы от
религиозных вопросов о взаимоотношениях человека и богов. Фалес из Милета
(около 624 г. до н. э.), государственный
деятель и математик, по словам Аристотеля, привез математику в Грецию из Египта.

Это наложило
отпечаток на всю
дальнейшую греческую
науку и математику. Они
строили теории, объясняющие небесные и земные
явления с естественной
точки зрения.
Но для нас,
греков, числа
продолжали
иметь магическое
очарование, потому
что они отражали
симметрию и красоту
Вселенной.

54

Пифагор

Я, Пифагор (580–500 гг. до н.э.),
был не только математиком, но и
гражданским лидером и основателем
мистического культа, практиковавшего
аскетические упражнения и воздержание
от излишеств в еде и
деятельности.

Пифагорейцы обнаружили, что простые
музыкальные гармонии
создаются комбинацией
инструментов с простыми
отношениями длин. Октава двух струн достигается,
когда длина одной струны
вдвое меньше длины другой;
для квинты это соотношение
составляет
2 к 3.

Пифагору приписывают известную теорему, названную
в его честь, в которой утверждается, что сумма квадратов
катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату
гипотенузы, т. е. a2 + b2 = c2. Как мы уже видели, это
правило было хорошо известно до Пифагора, но мы
можем предположить, что Пифагор был первым, кто
попытался привести общее доказательство. И хотя эта
история не всплывала в течение сотен лет после его
жизни, она соответствует нашему знанию о его стремлении превратить математику в сугубо практический
инструмент исследования философского смысла.

55

Пифагорейцы также восхищались правильными геометрическими
фигурами, как многоугольниками, так и «сплошными телами» (многогранниками, которых всего пять, и не больше). Существует легенда, что
школа пифагорейцев прошла через великий кризис, когда обнаружилось,
что некоторые пропорции этих фигур нельзя выразить как отношения
чисел. Примером такого «монстра» может служить отношение диагонали
квадрата к его стороне; сейчас мы говорим, что…
32 —
иррациональное
число.

56

Парадоксы Зенона
Четырьмя парадоксами Зенон попытался показать, что, как бы мы ни рассматривали
пространство, как конечно или бесконечно
делимое, а движение как абсолютное или
относительное, некоторые, казалось бы,
правильные рассуждения приводят к противоречиям.
Самый известный парадокс касается Ахилла
(самого быстрого бегуна), преследующего черепаху. За один прыжок он сокращает расстояние до черепахи в два раза, и так раз
за разом1…

Как после такого анализа описать
обгон черепахи?

Этот парадокс показывает, что, если допустить бесконечную делимость
пространства, мы получаем парадоксы в описании движения.
1

Автор объясняет парадокс недостаточно понятно. Суть в том, что в начальный
момент времени между Ахиллом и черепахой есть некоторое расстояние. Если отметить
посередине этого отрезка точку, то Ахиллу потребуется некоторое время, чтобы добежать до этой точки, но черепаха за то же время отползет дальше. Если повторять это
рассуждение и дальше, можно заметить, что черепаха всегда будет успевать отползти
дальше своего начального положения и потому Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. — Прим. перев.
57

У Зенона было три других парадокса о движении и еще несколько
о превращениях в целом. Например, предположим, что нам даны следующие инструкции…

Конечно, такой капли нет, но когда бочка
наполнится, мы с полной
уверенностью скажем:

Однако мы не сможем
отметить момент превращения вина в воду.
Зенон рассуждает:

58

Философы продолжают преследовать Зенона до наших дней, но, как Ахилл, они
никак не могут поймать свою добычу. Возможно, ему было что рассказать
нам о наших математических понятиях. Мы хотим верить в стройность его
рассуждений, но, возможно, они действительно противоречивы.

Евклид

Я, Евклид
(323–285 гг.
до н.э.), отец
доказательной
геометрии.

Его идеи оказали огромное влияние на западную математику, будучи
основой нашей геометрии до самого недавнего времени. Он систематизировал традицию доказательств на основе «построений», используя
идеализированные инструменты, такие как линейка и циркуль (для
построения дуг окружности). С их помощью можно доказать утверждения о фигурах и их формах без использования числовых примеров. Это
было революционным изменением в греческой математике — идея
доказательства, которое было общим и в то же время абстрактным.

В своей работе, «Начала» Евклид изложил знаменитые основы геометрии
и определил аксиомы, которые не требуют доказательства. (Были известны
и другие, более сложные аксиомы, позволявшие упростить доказательства,
но они не считались «геометрическими», или правильными.) После определения таких терминов, как «точка»
и «прямая», Евклид дал пять «общих
понятий» количества и пять «постулатов» построений.
59

Общие понятия (аксиомы):
1. Равные одному и тому же равны
между собой
2. Равенство, добавленное к равенству, сохраняет равенство (если к равным прибавляется равное, суммы
будут равны)
3. Равенство, отнятое от равенства, сохраняет равенство (если от равных отнимается равное, остатки
будут равны)
4. Две совпадающие вещи равны друг другу
(совмещающиеся друг с другом равны
между собой)
5. Целое больше его части
Постулаты:
Пусть все, что говорится ниже, относится к плоскости.
1. Между любыми двумя точками можно провести
прямую
2. Любую линию можно продолжить в любом направлении бесконечно
3. Вокруг любого центра можно нарисовать окружность
любого радиуса
4. Все прямые углы равны между собой
5. Если прямая, пересекающая две другие прямые, образует
внутренние углы по одну сторону, меньшие двух прямых
углов, то, продолженные неограниченно,
эти две прямые встретятся
с той стороны, где углы
меньше двух прямых

60

Первые три определяют построения, но последние два постулата в действительности
являются теоремами. Пятый постулат, также называемый
«аксиомой параллельности», превратился в постоянную
проблему для последующих поколений математиков. В конце
концов, именно он оказался ключом к описанию различных
видов (неевклидовых) геометрий.

На этой основе Евклид вывел все геометрические следствия, известные в его время, включая теорему Пифагора. Несмотря на очевидные
трудности, его аксиомы впоследствии рассматривались как самоочевидные истины, и выводы, сделанные из них, также рассматривались
как истины. Геометрия была принята как великий пример подлинного
знания, достигнутого человеческим разумом.
После Евклида другим великим математиком был Архимед (287–
212 до н. э.). Он разработал способы измерения площадей некоторых
криволинейных фигур, а также площадей поверхностей и объемов
некоторых тел, таких как сферы и цилиндры. Он рассчитал приблизительное значение ʌ…

...и я
открыл
закон
Архимеда!

61

Китайские математики
Китайцы никогда не развивали
стиль строгих доказательств,
которые мы находим в евклидовых «Началах», потому что
на самом деле они не были
по-настоящему заинтересованы в формальной логике. Они
были в большей степени заняты практическим применением идей и не изучали математику ради
нее самой.
Это не помешало им изобрести свое доказательство связи между
сторонами прямоугольного треугольника, которое сильно отличается
от теоремы Пифагора. И в отличие от греков, их не слишком беспокоили
иррациональные числа (числа, которые нельзя выразить как отношение
двух целых чисел). Например, для обозначения отрицательных чисел
китайцы просто использовали красные палочки вместо черных!
Китайцы практиковали
алгебру без использования символов, записывая свои идеи обычными
словами. Они использовали счетную доску для
алгебраических и других
математических исследований. Во времена династии Сун (960–1279)
они разработали нотацию, которая позволяла
работать с уравнениями
до девятой степени. Они
могли решать системы
линейных уравнений
(с двумя и более неизвестными) и квадратные
уравнения.

62

Кроме того, китайцев интересовали «магические квадраты» с такими числами в клетках,
суммы которых по горизонтали, вертикали
и диагонали были равны. В Китае были даже
придуманы «магические кубики».
Китайцы всеми силами стремились получить
точное значение π. Лю Хуэй, один из первых
китайских математиков, оценил значение π с точностью до четвертого знака после запятой. Его
метод получил название «метод истощения»,
когда многоугольник вписывался в круг и количество его сторон увеличивалось, пока они
не становились настолько короткими, что можно
было приравнять многоугольник к окружности.

В V веке нашей эры, отцом и сыном, Цзу Чунчжи и Цзу Гэном, были
получены значения π: 3,1415926 и 3,1415927. Такая точность на Западе была достигнута только в XVII веке.
63

Чиу Чанг
Чиу Чанг — самая известная книга китайской математики. Мы не знаем,
кто ее написал, или точную дату, когда она была написана, но предполагается, что это произошло в конце династии Чин или в начале династии
Хань (I век н. э.). Она охватывает следующие темы:

• землемерные работы (с правилами сложения и вычитания долей), пропорции (проценты)
• распределения по пропорциям (арифметические и геометрические прогрессии, правило трех)
• измерение площадей (нахождения квадратных и кубических корней на геометрической основе)
• справочный текст для инженеров (объемы трехмерных
объектов)
• справедливые налоги (время на транспортировку чего-либо из пункта А в пункт Б и распределение)
• раздел «слишком много и недостаточно» (задачи
на распределение и недостачи)
• методы таблиц (решение систем уравнений с двумя
или тремя неизвестными с использованием таблицы)
и, наконец, прямоугольные треугольники (двадцать четыре задачи на нахождение длин сторон)

Диапазон и глубина
«Чиу Чанг» демонстрируют
уровень развития китайской
математики к началу
христианской эры
на Западе.

64

Четыре китайских математика
Пик развития китайской математики пришелся на вторую половину
XIII — начало XIV века. В этот период жили четыре самых известных
китайских математика —

В то время в Китае существовало более тридцати математических школ
и экзамен по математике являлся обязательным для поступающих,
на государственную службу.
Цинь Цзюшао считается одним из величайших китайских математиков; он работал и на военных, и на гражданских. Его книга Шу шу цзю
чжан (Девять разделов математики) включила некоторые новые идеи
и впервые представила нечеткий анализ. (Это исследование задач,
решения которых должны быть целыми числами.)
65

Ян Хуэй и Чжу Шицзе исследовали перестановки и комбинации выражений и придумали то,
что мы теперь называем биномиальной теоремой. В том числе
умножение двучленов (биномиальных выражений), таких
как (x + 1) и (x + 3), что дает
в результате x2 + 4x + 3 = 0.
Чем больше выражений участвует в умножении, тем больше
членов в решении, например:
(x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = x3+ 3x2 + 3x + 1.
Это привело двух математиков
к тому, что теперь мы называем
треугольником Паскаля. Они обнаружили, что числа перед x образуют некий шаблон. Там, где первая
степень [то есть (x + 1)] это 1; там,
где вторая степень [то есть (x + 1)2]
это 1, 2, 1; для третьей степени
[то есть (x + 1)3] это 1, 3, 3, 1;
и так далее. Все это выливается
в форму, которую Блез Паскаль
разработал в XVII веке.

66

Треугольник Паскаля используется при анализе вероятностей. Вторая
строка показывает количество перестановок при броске двух монет.
Есть один способ получить два орла, два способа получить орел и решку
и один способ получить две решки.

Впервые объяснение этому явлению дал сунский математик Цзя Сянь
(примерно 1100 год н. э.), но, возможно, это знание появилось еще
раньше.
67

Индийские
математики

Индийские математики, так же как китайские, опирались на разные
виды доказательств, включая наглядные демонстрации, не сформулированные на основе какой-либо формальной системы выводов. Индийская математика развилась на фундаменте исследований индийских
логиков и лингвистов.
Математика в Индии прошла четыре этапа в своем развитии.
В период Хараппана от 2500 г. до примерно 1000 г. до н. э. развивалась
протоматематика — математика сугубо практической направленности,
например для подсчета кирпичей на строительстве и т. д.
За ним последовал ведический период, длившийся около 1000 лет,
в который развивалась ритуальная геометрия. В тот период также начинают расцветать джайнизм и буддизм.
Затем последовал классический период — он продолжался примерно
до 1000 года н. э. Математики этой эпохи были сконцентрированы
на развитии ранних понятий, таких как числа, алгоритмы и алгебра.

Поэма индийского
математика Бхаскары

Последней великой эрой для индийской математики стал средневековый
период школы Кералы, закончившийся в 1500-х годах, в этот период
получили блестящее развитие понятия, заложенные ранее. Что стало
причиной такого стремительного взлета математики в период Кералы,
неизвестно. Но, как бы то ни было, керальская школа, по всей видимости,
повлияла на европейскую математику, потому что более поздние открытия
в Европе были сделаны математиками Кералы за три столетия до них.
68

Ведическая геометрия
Ведический индуизм связан с очень большими числами, которые являлись
частью религиозной сферы. Например, при обсуждении жертвоприношений
упоминаются такие числа, как 100 000 миллионов. Есть четкое представление
о том, что числа постепенно растут кратно десяти — чем больше они были,
тем интереснее они становились.
Геометрия алтаря дает нам представление об алгебре ведического индуизма.
В соответствии с одной системой, алтарь имел форму равнобедренной трапеции,
и стороны должны были пропорционально увеличиваться или уменьшаться
для различных церемоний. Некоторые церемонии требовали, чтобы одни
стороны оставались неизменными, а другие увеличивались или уменьшались.
Необходимость соблюдения этих условий задала религиозным лидерам математическую задачу, требующую алгебраического решения. Для этих операций
были определены правила выполнения, а также рассматривались вопросы
определения количества кирпичей, необходимого для преобразований. Для
вычисления количества кирпичей, необходимого, чтобы швы в последовательных слоях не совпадали, требовалось решить систему уравнений.

О девочка! Представь стаю
лебедей. 7/2 квадратного
корня от общего их числа
играют на берегу... два
оставшихся в шутку бьются в
любовном поединке на воде.
Сколько всего лебедей?

Выполнение
арифметических
операций в уме в те
времена — это я вам
скажу...

Подсказка: попробуй подобрать число N для которого
выражение (N–2)/7 дает целый результат!

69

Индуистские математики рассчитали значение π с точностью до четвертого знака после запятой.

...заключается в
делении площади
или объема на
меньшие элементы
с последующим их
суммированием.

Сферы, например, делились на множество маленьких пирамид, и их
объем вычислялся тем же «методом
истощения», который использовал
Архимед. Такие методы суммирования «очень маленьких» элементов
стали основой того, что позже назвали интегральным исчислением.
Индусы применили этот метод
в астрономии для вычисления скоростей и положений планет. Точное
предсказание затмений, например,
имело большое религиозное значение — астрономы, предсказывавшие
их, пользовались большим авторитетом. Некоторые ученые, изучающие
историю индийской математики,
считают, что это стало истинным
началом исчисления.

70

Брахмагупта
Алгебра как отдельная ветвь математики появилась позже, во времена
Брахмагупты (около 598 г. н. э.), одного из величайших индийских
математиков. Он написал математический трактат, в котором осветил
квадратный и кубический корни, дроби, правила трех, пяти, семи
и т. д. и правила товарообмена. В его время уравнения были разделены на группы, которые мы узнаем
и сегодня: простые (yavat-tavat),
квадратные (varga), кубические
( ghana ) и биквадратные
(varga-varga). Брахмагупта занимался линейными и квадратными уравнениями
с неизвестными.
У него было множество толкователей, передававших
его идеи на протяжении многих лет.

Как и большинство ведических
индусов, Брахмагупта любил иррациональные числа, такие как √2,
и дал их приблизительные значения c высокой
точностью.

71

Джайнские числа
Как и ведические индусы, джайны также интересовались чрезвычайно
большими числами — и имели свое собственное представление о них.
Они предположили, что существует три группы чисел: исчислимые,
неисчислимые и бесконечные. Каждая группа делилась на три части.
Первая группа состояла из низших, промежуточных и высших чисел;
вторая состояла из почти неисчислимых, поистине неисчислимых и неисчислимо неисчислимых чисел; последняя группа состояла из почти
бесконечных, поистине бесконечных и бесконечно бесконечных чисел.
Европейская математика смогла достичь подобных высот
только сто лет назад, в работах Кантора.

Махавирачарья (850 г. н. э.),
джайнский математик, использовал отрицательные числа
в своей работе и упоминал
ноль.
Число, деленное
на ноль, остается
неизменным.

Оно должно быть
бесконечным.

72

Ведические и джайнские комбинации
И ведические, и джайнские индусы любили экспериментировать с комбинациями. Одним из источников этого интереса были ведические размеры
в поэзии и их вариации. Некоторые размеры имели по 6 слогов, некоторые
еще больше (например, 8, 9, 11 или 12). Задача состояла в том, чтобы чередовать длинные и короткие звуки в каждой группе слогов и найти различные
доступные комбинации. Этот поиск привел к великой игре перестановок — например, общее количество благовоний, которые можно составить из, скажем,
12 веществ, взятых один, два, три или более раз.

Понюхай! Эта
комбинация
из 8, 11, 9, 3 пахнет
ужасно.

Результатом этого
мыслительного
процесса стала мерупрастара — аналог
треугольника
Паскаля.

Бхаскара II (около 1114 г.) правильно включил ноль
в арифметику и в свою алгебру. В алгебре он использовал современную теорию применения знаков
и букв для обозначения неизвестных величин. Он
изучал довольно сложные проблемы в теории чисел,
и считается, что его работа содержала «зародыш современного исчисления».

73

Математический стих
Математические идеи в Индии часто передавались устно в стихотворной форме. Математические загадки в стихах распространены
даже сегодня. Прочитаем знаменитый математический стих:

О, прекрасная Дева с горящими глазами,
дева
скажи мне,
поскольку ты понимаешь метод инверсии,
назови мне число, которое,
умноженное на 3,
затем умноженное на три четверти результата,
деленное на семь,
уменьшенное на треть результата,
умноженное на себя,
потом уменьшенное на 52,
чей квадратный корень извлекается,
перед тем как добавляется 8 и затем
делится на 10,
дает в результате 2?

Это могло
быть стихом.

74

О нет! Посмотри
на следующую
страницу! Если
ты думаешь, что
поэзия тут хромает,
посмотри на
математику!

Сколько
у меня
времени?

Ответ — 28, чтобы получить
его, надо пройти в обратном
направлении через всю загадку и
выполнить операции в обратном
порядке. Итак, по порядку: X10,
–8, []2, +52 и так далее.

Вот как был получен ответ:
[(2)(10)–8]2 + 52, что дает
в результате 196.
Затем √196 =14
Дальнейшие вычисления выполняются
с числом 14:
(14)(3/2)(7)(4/7)=28, ответ.
3
В наши дни мы бы записали эту задачу как
уравнение с неизвестным результатом, обозначенным как x:
((√{[x × 3 × (7/4) × (2/3)]2–52} + 8)) / 3 = 2
Разбор этого сложного выражения не сильно отличается от старомодного способа, но теперь мы
можем следить за неизвестной величиной x, которая отделена от чисел.

75

Рамануджан
История индийской математики полна примеров интуитивных математиков. Сриниваса Рамануджан (1887–1920), например, имел полный
провал c академической точки зрения, но оказался блестящим математиком. Скромный бухгалтер и самый обычный человек, Рамануджан
полагался на мистику и метафизику, а также абстрактные идеи, ставшие
основой его математики. Никто не мог понять, как он пришел к своим
блестящим и глубоким (иногда ошибочным) результатам.
Его покровитель в Англии, математик Годфри Гарольд Харди, однажды
посетил его, когда тот был в больнице.

Я ехал сюда в такси
номер 1729. Этот номер
мне кажется самым
обычным — надеюсь,
оно не означает ничего
плохого?

Нет, это очень интересное
число! Это наименьшее
число, которое можно
выразить как сумму двух
кубов двумя разными
способами.

76

Исламская математика
Мусульмане объединили математическую мысль более ранних цивилизаций, связав воедино алгебраические и арифметические традиции
Вавилона, Индии и Китая с геометрическими традициями Греции
и Эллады. В результате мусульманские математики уверенно владели
основными арифметическими операциями с целыми и дробными числами, использовали взаимозаменяемо десятичные и шестидесятеричные
числа, извлекали квадратные и кубические корни, манипулировали
иррациональными числами, вычисляли биномиальные коэффициенты и даже извлекали корни
четвертой и более высоких степеней.

77

Аль-Хорезми
Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (умер в 847 г.)
был основателем алгебры, какой мы ее знаем сегодня. Слово «алгебра» происходит от названия его книги: Kitab almukhasar fi hisab al-jabr wa’l muqabala (Краткая книга восполнения и противопоставления). Слово «алгоритм»
происходит от его имени. Аль-Хорезми объяснил, как
свести любую задачу к одной из шести стандартных
форм, используя два процесса, первый известен как
al-jabr, второй как al-muqabala.

Al-jabr заключался в «переносе членов» для устранения отрицательных величин (например, уравнение x = 40 – 4x превращалось в 5x = 40).
Al-muqabala — следующий процесс, который
«балансировал» оставшиеся положительные
величины (то есть в результате применения
этого процесса уравнение 50 + х2 = 29 + 10х
сократится до 21 + х2 = 10х).

В своей книге Аль-Хорезми не использовал никаких символов, как
мы делаем это сейчас, — они пришли позже — он выражал свою
математику словами. Словами он описал решение квадратных уравнений и разработал ставшую теперь стандартной формулу:
ax2 + bx + c = 0,
которая имеет решение:
x = [1/2a][–b ± √(b2–4ac)]
78

Развитие алгебры

Для нас цель алгебры была
двоякой: систематизация применения элементарных арифметических операций к алгебраическим выражениям
и изучение алгебраических
выражений, независимо
от того, что они собой
представляли, чтобы
иметь возможность
применять к ним
основные операции,
которые применяются к числам.
Самау-аль-Яхья
аль-Маграби (умер
в 1175 г.)

Самау-аль-Яхья аль-Маграби
был первым, кто начал записывать алгебраические уравнения в символической форме.
79

В своей «Книге
В своей книге
об алгебре
«al-Fakhri»
я изучал
и алмукабале»
яразличные
изучал различные
«степени
степени
неизвестных».
неизвестных.

Еще я применил
арифметические операции
к алгебраическим
выражениям и привел
одно из первых
утверждений алгебры
«многочленов».

Труды Аль-Караджи
использовали его
преемники для определения правил деления многочленов,
а также извлечения
квадратного корня из
многочлена.

Из этого возник
«комбинаторный анализ», который
впоследствии стали применять для
анализа азартных игр, вычисления
вероятности выпадения костей
или карт.

Мною была
сформулирована и
выведена формула
«биномиального
расширения».

А для него —
построена таблица
коэффициентов,
«треугольник Паскаля» (к
тому времени уже открытый
китайскими математиками).

80

Омар Аль-Хайям (умер в 1123 г.) исследовал поиск корней
четвертой, пятой, шестой и более высоких степеней методом, который не предполагал использования геометрии,
а был эквивалентом треугольника Паскаля. Его открытие
совпало по времени с аналогичным открытием китайских
математиков.

А еще я
писал стихи
в свободное
время!

Я написал
книгу «алгебра»
Алгебра в
стихах, и благодаря
мне алгебраические
символы получили
распространение на
Западе.

Аль-Каши (умер
в 1429 г.) не только рассчитал число π с точностью
до шестнадцатого
знака после запятой, но также вывел методические
способы обращения с десятичными дробями.
81

82

Я использовал
идею касательной,
или «тени», впервые
введенную Аль-Марвази
(около 900 года.), чтобы
вывести уравнение для
вычисления тангенсов и
котангенсов, и составил
таблицу котангенсов.

83

Мои построения
были настолько удобны для
практического использования,
что широко распространились
в Европе в эпоху Возрождения.
А еще я подготовил новые
тригонометрические таблицы и
разработал способы решения
некоторых задач сферических
треугольников.

84

Он также
исследовал вопрос
местонахождения
точки в
пространстве, если
таковая существует,
где параллельные
прямые могут
пересекаться.

85

86

Четверо
сыновей
унаследовали
(соответственно)
третью, четвертую,
пятую и шестую
части имущества
их отца…

Задачи,
подобные этой,
относились к
«загадкам»,
предназначенным
для состязаний
в остроумии (и
храбрости), и
обычно решались
методом проб
и ошибок.

…оставившего
пять частей
серебра в
наследство.

Как
велико его
состояние?

На самом
деле я знаю
ответ: 100.

87

Надеюсь,
алгебра тебе
нравится так же
сильно, как и
алкоголь.

88

Спасибо,
босс.

В следующем XVI веке — «веке экспансии» —
европейская математика получила
дополнительный импульс.

Главными событиями той эпохи были
географические открытия, покорение
новых земель и религиозные войны.

89

…которые в ХХ
веке сами стали
источником
парадоксов.

90

Я обнаружил, что
алгебра очень
туманная и путанная,
а геометрия слишком
ограниченная…

…поэтому
я решил
объединить их
сильные стороны
и устранить
недостатки.

91

Вскоре
появились
и другие
парадоксы!

92

...можно
определить
относительно
другой точки с
помощью набора
чисел.

93

В плоскости,
образуемой осями
x и y, можно
начертить график,
точка за точкой.

Кроме того,
с помощью
уравнения можно
установить
отношения между
координатами
каждой точки.

…ветви которой
поднимаются
вверх и уходят в
бесконечность.

Раньше я думала,
что графики
скучные, но эти
фигуры довольно
красивы.

94

…которая называется
«коническим
сечением»…

Это все
сечения
конуса,
видите?

95

В аналитической
геометрии и
дифференциальном и
интегральном исчислении
мы используем функции,
описанные при помощи
определенных символов.

96

Простейшими
являются
константные
функции.

Степенные
функции имеют
вид f(x)=x N ,
где N — любое
фиксированное
число

Функция
f(x) = x 2 —
пример степенной функции.

97

Функции корня являются
«обратными» по отношению к степенным; то есть
f(x) = x1/2 = √x является
обратной для f(x) = x2.

Полиномиальные функции имеют постоянные
коэффициенты (a, b, c, d и т. д.) и переменную x,
которая входит в уравнение с разными степенями.
То есть полиномиальная функция может иметь вид
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Дальше начинается
опасная территория
«трансцендентных»
функций…

…простирающаяся
за пределы
алгебраических
операций.

98

В тригонометрических функциях используются тригонометрические
отношения, такие как синусы и косинусы. Одна из них
f(x) = sin x.

Экспоненциальная функция, такая как
f(x) = ax, — еще одна форма степенных функций, в которой основание является фиксированным числом, а показатель — переменной.
Экспоненциальные функции с основанием
больше единицы возрастают очень быстро.

Логарифмические функции являются обратными по отношению к
экспоненциальным. Они записываются как f(x) = loga(x); число a называется основанием логарифма. Эти функции растут очень медленно,
например:

Логарифмические таблицы, которыми мы пользуемся, содержат логарифмы с основанием 10. В компьютерах, использующих двоичную арифметику (цифры 0, 1), лучше
подходит основание 2. Но в теоретической математике предпочтительным основанием является число e = 2,71828… Это число —«мать всех
оснований», представляет экспоненциальную
функцию f(x) = ex, скорость роста которой прямо
пропорциональна его значению.
100

Дифференциальное
и интегральное
исчисление
Работа Декарта стала кульминацией процесса освобождения алгебры
от неточных понятий, в результате чего она стала похожа на греческую
геометрию, содержавшую конструкции, не зависящие от чисел. Когда
он предложил свой подход к формальному описанию алгебраических
отношений, этот процесс ускорился. Примерно через 40 лет после
публикации алгебраической геометрии Декарта немецкий философ
и математик Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716) создал
алгебру бесконечности. Именно ее мы называем «дифференциальное
и интегральное исчисление» — мощный инструмент анализа роста
и изменения.

Сэр Исаак Ньютон (1642–1727) сделал
подобное открытие немного раньше, но
он просто расширил нотацию Декарта и едва ли вышел за ее пределы,
поэтому форма дифференциального и интегрального исчисления Лейбница получила более широкое распространение. То есть идеи, ставшие
основой современной математики, сформулировали два философа:
Декарт и Лейбниц.
Секрет дифференциального
и интегрального исчисления лежит
в унификации двух типов задач,
которые ранее считались не
связанными. Теперь мы называем
их дифференцированием и
интегрированием.

101

Дифференцирование

Процесс определения скорости изменения значения называется дифференцированием. Дифференцируя функцию, мы получаем скорость
ее изменения.
Вообразите машину, движущуюся по дороге. Ее положение на дороге
изменяется непрерывно. В каждый момент времени t ее положение x
представлено непрерывной функцией x(t).

Какова средняя скорость движения машины? Она определяется делением пройденного расстояния Δx на время движения Δt. Или:
Δx/Δt = f(t + Δt) – f(t)/Δt
102

Теперь предположим, что нам нужно определить скорость движения
тела, например машины, в некоторый момент времени, то есть скорость изменения x в момент t. Для этого можно сделать приращение Δt
минимальным, насколько это возможно, чтобы оно было почти равно
нулю. Теперь можно сказать, что предел средней скорости Δx/Δt при
величине Δt, стремящейся к нулю, есть мгновенная скорость. Обычно
это записывается как dx/dt и называется производной x.

Меня
взяли как
бесконечно
малое…

…и меня
тоже.

Насколько
близко наше
приращение
к нулю?

Если оно и
в самом деле
станет равным
нулю, что тогда
произойдет?

В связи с этим мы
рассматриваем ноль
Это одна из
не как число, а как
глубочайших загадок
бесконечно малое
дифференциального
значение.
и интегрального
исчисления.

Мы еще
вернемся к
этому!

103

Между тем если начертить график изменения x с течением времени t,
производная даст нам наклон касательной к кривой в точке t.

Можно взять производную от производной и получить вторую производную — в нашем примере с автомобилем на дороге вторая производная
даст скорость изменения скорости, или ускорение.

Ох… Это
было сложно,
я права?

104

Внимание,
приближается
вторая часть
анализа.

Интегрирование
Сейчас мы переходим к
завершающему штриху,
отношению, которое сделало
«дифференциальное и
интегральное исчисление»
самым мощным
математическим формализмом,
который когда-либо
видел мир.

Первая задача решалась «методом истощения»,

Речь идет о двух
видах задач, связанных со
свойствами кривых, одна из
которых относится ко всей
кривой в целом, а вторая —
к отдельной точке
на кривой.

а вторая — построением хорд
к кривой через заданную точку.

Если кривые представить как графики функций, тогда к решению задачи определения
площади под кривой можно подойти с двух
сторон. Можно «заполнить» область тонкими вертикальными полосами, а можно
рассматривать площадь как новую функцию — производную исходной функции. Тогда обе задачи можно было бы решить одним
методом, беря производные и их обратные
значения.

Начнем с
производных и
обратных им
функций.

Рассмотрим их применение на примере наших машин, движущихся по
дороге, и трех графиков: пройденного расстояния, скорости и ускорения. Но начнем исследование графиков не в прямом порядке, начиная
с функции движения x(t) и заканчивая графиками ее производных,
а в обратном — начиная с производных и закончив функцией движения.

105

Итак. Рассмотрим сначала график ускорения, затем
скорости и потом расстояния…

В левой части графика ускорение положительно и скорость растет, как это всегда
бывает, когда машина начинает движение.
Обратите внимание, что постоянное ускорение дает прямолинейный график скорости и криволинейный график расстояния
(в данном случае параболу).
Теперь снова посмотрим, как при перемещении вдоль оси времени изменяются
площади под графиками кривых. Это —
ключ ко всей истории, поэтому смотрите
внимательнее.

На графике ускорения область под кривой
образует прямоугольник: ее площадь растет пропорционально времени. Но именно
так ведет себя график скорости!
Поскольку график скорости описывает
треугольник, его площадь растет сначала
медленно, а затем быстрее; а это форма
графика расстояния!

106

Здесь хорошо видно, что если одна функция является производной
от другой (или показывает скорость изменения другой), тогда другая
является функцией площади под графиком первой!
Скорость — производная
от расстояния, поэтому
расстояние — функция площади
под графиком скорости.

Ускорение — производная
скорости, поэтому скорость —
функция площади под графиком
ускорения.

Теперь попробуем порассуждать
о происходящем при движении
машины задним ходом, как показано на следующем графике. Отрицательное ускорение создает
отрицательную область (под осью
времени); поэтому скорость — постоянная и отрицательная.
Как видите, пройденное расстояние уменьшается, график опускается вниз, как перевернутая
парабола. Когда машина останавливается, ускорение равно
нулю, скорость равна нулю, расстояние — константа.
Если вам
приходится
выворачиваться
наизнанку, чтобы
понять идею
дифференциального
и интегрального
исчисления, не
переживайте — оно
кажется трудным
только сначала!

107

ди,
й
а в
об
ал
ечно

Начнем с кривой скорости v(t) и представим, что пространство под
ней заполнено очень тонкими полосками. Каждая имеет ширину Δt
и высоту v(t).
Расстояние, пройденное за
каждый интервал времени
Δt = v × t, равно площади полоски v × Δt. Общее пройденное расстояние x(t) = сумме
всех площадей v × Δt.

Вся площадь под кривой равна

Сумме {площадей всех полосок v(t) × Δt}
Площадь каждой полоски описывает расстояние x, пройденное с постоянной скоростью v за промежуток времени t.

Теперь, если сделать
промежутки бесконечно
малыми, мы сможем
сгладить их по основанию
dt и выразить сумму особым
символом…

108

Вернемся к отношению, обратному производной, и представим
«последнюю» узкую полоску, площадь которой
выражается как Δx.

То есть производная интеграла, определяемого как сумма полосок,
является функцией, площадь которой вычисляется с помощью этого
интеграла.
Производные функций, заданных алгебраически или в терминах специальных функций, находятся (относительно) просто. Чтобы найти алгебраическую форму функции площади, нужно найти конкретную функцию,
чья производная является исходной функцией. Проблема исследования
свойств кривых в целом сводится к более простой задаче исследования
свойств кривой в точке.

Это позволяет решать
задачи в терминах скорости
изменения и давать решения
в терминах положения
в пространстве.

Как-то
так!

109

Если что-то из
этого кажется
странным и трудным
для восприятия, не
переживайте.
Дифференциальное
и интегральное
исчисление наполнены
парадоксами, нужно
время, чтобы к ним
привыкнуть.

Первоначально дифференциальное и интегральное исчисление
применялись в механике и астрономии. Дифференциальные уравнения позволили создать математическую физику. Только после этого
появились учения о теплоте, энергии, электричестве и магнетизме.
Мир современной науки, на который опирается мир современной технологии, напрямую зависит от дифференциального и интегрального
исчисления.

110

Вопросы Беркли
Теперь вернемся к шагу наращивания и тому, как он таинственно
стремится к нулю. В свое время многие спрашивали об этом Лейбница
и Ньютона и получали неудовлетворительные ответы. Тогда ирландский
философ и англиканский епископ Джордж Беркли (1685–1753) задал
эти вопросы в более четкой форме.
Я заметил, что
выполнять деление с этими
приращениями имеет смысл,
только если они не равны
нулю; иначе получится
деление на ноль, а это
запрещено правилами
математики.

Всегда ли
приращение не равно
нулю, или оно может
быть точно равно нулю,
или представляет собой
«призрак исчезнувшей
величины»?

И кроме
всего прочего,
любезный сэр
Ньютон —
голый.

Беркли задался целью показать, что «вольнодумцы», провозгласившие, что наука и разум скоро заменят тайны и суеверные
религиозные верования, были невежественны и догматичны, как
худшие из теологов. В подзаголовке к своему труду он спросил:
«…являются ли предмет, принципы и выводы современного
анализа более четкими или более гармоничными, чем религиозные тайны
и вера?» С его точки зрения, ответ
был ясен…
111

Некоторые математики пытались ответить на произведение Беркли,
«Аналитик». Он использовал эти ответы, чтобы еще более жестко
отобразить их заблуждения. Его ответ, «Защита вольнодумства в математике», — шедевр критического анализа.

112

Беркли полагал, что обучение методам решения задач в математике
и науке не обязательно помогает понимать самую их суть. Он предполагал, что образ научного исследования, предложенный Томасом Куном
(1922–1995), который описал «нормальную науку» как практику «решения задач» внутри «парадигмы» (рамок мышления), которая неоспорима
и на самом деле бесспорна, пока она работает. С точки зрения Куна,
обычная наука является довольно узкоспециализированной практикой,
а обучение науке (включая математику) всегда довольно догматично.

Простите, сэр,
не получится
ли здесь
деление на
ноль?
Учителя
математики иногда
в шутку говорят
о «доказательстве
методом
устрашения».
Вот
проклятье…

Этого нигде больше
не требуется,
только для
рационализации
тайн исчисления.

113

Бог Эйлера
Именно шведский математик Леонард Эйлер (1707–1783) впервые
связал экспоненциальные и тригонометрические функции и предложил
объединяющую их формулу.
Эйлер был экстраординарным математическим гением, и существует
множество историй о его мастерстве. Фридрих Великий, король Пруссии,
пригласил Эйлера к своему двору, где ученый познакомился с французским энциклопедистом и философом Дени Дидро (1713–1784).
Дидро был убежденным атеистом…
Я попросил
благочестивого
Эйлера представить
математическое
доказательство
существования
бога.

Сэр,
(a + bn) / n = x ,
следовательно,
бог существует.
Попробуйте
опровергнуть!

Дидро
был ошарашен
и бежал
назад в
безопасные
парижские
салоны.
114

Формула, упомянутая в этой истории, не таит ничего особенного. Но
Эйлер вывел также одну из самых изящных формул в математике, которая на протяжении столетий заставляла других ученых остановиться
и призадуматься.
Формула Эйлера — загадочное трансцендентное выражение, которое
объединяет пять наиболее фундаментальных чисел в нашей вселенной:

115

Посмотрим на них в обратном
порядке. Первое из них — таинственное квазичисло 0. Далее
следует 1 — единица — основа
всех других чисел. Затем она
появляется еще раз, в своем
отрицательном воплощении,
под знаком квадратного корня (корень из минус единицы
называется «i»). Это базовая
единица для мнимых чисел, которые завораживали представителей многих культур и цивилизаций. Затем следует старейшая
математическая константа, измеряющая отношение длины окружности
круга к его диаметру. И последнее число,
открытое не так давно, — это трансцендентное
число е, основа «натурального» экспоненциального роста.
Можно ли отношения, подобные этим,
определить с помощью экспериментов, если повторять их многократно?

116

Фактически, божественная формула Эйлера появилась из открытой им
функции, которая связывает комплексные числа и тригонометрические
функции, открытые мусульманскими математиками (смотрите на стр. 85).
Мы видели, что функция ex имеет очень быстро растущий график (смотрите стр. 99). В отличие от нее, график функции e√(–1)x — окружность!
Ее радиус равен единице; а x — это угол между осью абсцисс и прямой,
соединяющей начало координат с точкой на окружности. А так как точка
движется по окружности, x увеличивается
от 0 до 2π. Но если посмотреть на график
с точки зрения тригонометрических функций, можно заметить, что «вещественная» часть числа e√(–1)x — это просто
cos x, а «мнимая» — sin x.
Поэтому можно записать:
eix = cos x + i sin x, где i — обозначает
корень из минус единицы (√–1).
А что, если точка обойдет окружность
целиком и продолжит движение?
Функции eix, cos x и sin x просто повторят сами себя. Поэтому их называют периодическими. График y = sin x выглядит так:

Они подобны многим природным явлениям, таким как переменный
электрический ток, вновь и вновь изменяющийся с течением времени, или волны звука, распространяющиеся в пространстве. Синусы
и косинусы — основные строительные блоки, лежащие в основе всех
сложных волновых форм, передающих сообщения. Используя «мнимую
экспоненциальную» форму в математических преобразованиях с их
участием, можно свести громоздкие специальные вычисления к простым и понятным упражнениям.

Моя божественная
формула сыграла
большую роль в
технологическом
развитии!

117

Неевклидовы
геометрии
Мы уже видели, что Евклид
вывел все свои геометрические формы из нескольких
«общих понятий» и самоочевидных «постулатов». Но один из
них, постулат о параллельных линиях,
больше похож на теорему. Он вводил
в заблуждение в течение нескольких
столетий, потому что ставил под сомнение верность и превосходство евклидовой системы. Затем внезапно он стал
предпосылкой для большого прыжка
в области математического воображения: открытия неевклидовой геометрии.

Этим вопросом занимались
несколько человек. Но один из
них даже не понял, что именно
он открыл! Это был иезуитский
математик Джироламо Саккери,
которому было суждено покончить
со всеми сомнениями раз и навсегда. В своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен», изданной
в 1733 году, он попытался показать,
что невозможно создать геометрию
и без пятого постулата.

На самом деле я
доказал несколько
теорем… но они
были нелепыми, и я
остановился.

Это была самая
великая цель в истории
научной мысли.

С результатами было
все в порядке, позже
их повторили другие
изобретатели, которые
лучше представляли,
что они делают.
Пятый постулат Евклида можно представить разными способами. Мы знаем его в
следующем выражении: пусть есть прямая и точка, не принадлежащая ей; через эту
точку можно провести только одну линию, параллельную данной. Если отвергнуть
данный постулат, у нас не будет параллельных прямых или их будет больше одной.

118

Впервые случай со многими параллельными прямыми был открыт
почти одновременно двумя математиками, венгром Яношем Бойяи
(1806–1860) и русским Николаем Лобачевским (1792–1856). Позднее немецкий математик Георг Риман (1826–1866) рассмотрел случай
отсутствия параллельных прямых. Затем стало очевидно, что эти геометрии можно получить, построив определенные поверхности.
В геометрии Римана примером такой поверхности служит сфера, где
под линией понимается наибольшая окружность. Это кривая образуется пересечением поверхности с плоскостью, проходящей через центр
сферы (смотрите здесь о сферической тригонометрии). Так как любые
две наибольшие окружности должны пересекаться дважды, параллельных линий нет.

В нашей геометрии
пространство
не так просто
визуализировать.

Она имеет
трубообразную
форму, образованную
вращением кривой
относительно осевой
линии.

В этом случае «линией» мы называем
кратчайший путь между двумя точками. И получается, что есть много «параллельных» линий, которые никогда
не пересекутся.
По мере того, как люди вникали
в идеи неевклидовых геометрий, слабела вера, что математики говорили
непреложную истину, логичную и непогрешимую. Но потребовалось много
времени, прежде чем эта революционная мысль распространилась.
119

N-мерное пространство
Другим необычным открытием в области геометрии стали пространства
с количеством измерений больше трех. Алгебраически расширить декартову систему координат на большее число измерений очень просто.
В отличие от точки на плоскости, имеющей только две координаты, x
и y, точка в гиперпространстве может иметь больше координат (x1, x2,
x3, ..., xn). Конечно, свойства кривых в таком гиперпространстве очень
отличаются от свойств двух- и трехмерных пространствах. Но идея
о многих измерениях, кажется, теперь не представляет для нас никакой трудности.
Смело
погружались
в гиперпространство…

В «Star Trek»
мы делали это все
время.

Я пришел
из другого
измерения!
Двухмерное
или не
двухмерное?

Я работаю не
покладая рук
над этими
чертежами…

120

Об этом был написан небольшой шедевр математической фантастики
и социальной критики. Он называется «Флатландия» и описывает
общество, где люди — многоугольники, живущие на плоскости. Как
и в Викторианскую эпоху, они одержимы статусом, который зависит от
количества сторон. У помещичества четыре стороны, у аристократов —
больше, у рабочих — три, а женщины — просто отрезки!
Главный герой, Квадрат, знает о трех измерениях благодаря своей
дружбе со Сферой. Это высшее существо появляется во Флатландии
каждые пятьсот лет, сначала как точка, затем превращается в окружность, растет в размерах, потом уменьшается и, наконец, исчезает. Для
флатландцев непостижимо, что это обычная Сфера, проходящая через
их плоскость. Сфера — друг нашего Квадрата, и она взяла его в путешествие по Пространству. Она показала ему Лайнландию
и Пойнтландию, где живут весьма самодовольные существа. Она также позволила заглянуть ему в личную жизнь
флатландцев. Но по возвращении на плоскость Квадрат
очень пострадал. Он попытался описать Пространство, но
как ему показать «верх» своим друзьям? Они сочли его
ненормальным.

Наконец
я избавился от
заблуждений
об одаренности
существ из высших
измерений!

121

Эварист Галуа
В течение XIX века в алгебре наблюдался рост общности и абстракции.
Она все больше опиралась на формальные определения. Постепенно
появилась идея, что система формальных определений может ссылаться
на другие понятия, такие как числа и арифметические операции с ними.
Большой шаг в этом направлении сделал французский математик Эварист Галуа (1811–1832), который стал одной из наиболее трагических
фигур в истории математики. Он был ярым республиканцем, а время
его жизни пришлось на период суровой политической реакции. Предполагается, что он стал жертвой провокаторов, организовавших роман
между незадачливым юнцом и невестой знаменитого дуэлянта. Галуа
был убит в юном возрасте 21 года. В последнюю ночь жизни он изложил
на бумаге все свои идеи. Рукопись была почти утеряна, но все же ее
удалось восстановить и опубликовать спустя примерно пятнадцать лет.
Галуа сражался с известной задачей поиска решения в квадратных
корнях общего уравнения пятой степени x5 + … = 0. В то время сложилось мнение, что данная задача неразрешима, но никто не смог этого
доказать.

Именно это
я Именно
решил сделать,
это
я решил
сделать,
и в процессе
и в процессе
уточнения
уточнения
своей
своей аргументации
аргументации
я
я набрел на новую
набрел
новую
идею
— на
теорию
идеюгрупп.
— теорию
групп.

Очень
Очень
дальновидно
дальновидно
сс его
его
стороны
стороны.

122

Группы
Группы — математические структуры, определяемые элементами и правилами взаимодействий
между ними. Их можно считать
арифметическими системами без
чисел. Их элементы не нуждаются в счете и измерении и не являются «числами» в привычном
понимании этого слова. Галуа понимал, что могут существовать последовательности операций, которые
ведут себя как сложение.
Такие последовательности обладают несколькими определяющими
свойствами.
1. Для любых двух элементов есть третий, являющийся результатом их
сочетания, например: 2 + 2 = 4.
2. Есть «нейтральный» элемент, не изменяющий никакой другой элемент при сочетании с ним, как в случае 2 + 0 = 2.
3. Для каждого элемента есть «обратный» ему, при сочетании с которым
получается нейтральный элемент, т. е. 2 + (–2) = 0.
Именно это
называют
группой.

Всякий, кто
познал «новую
математику»
в школе, хорошо
знает все это.

123

В качестве примера группы, который на самом деле является очень
упрощенной версией того, что сделал Галуа, рассмотрим набор из четырех объектов.

Они не являются элементами группы. Группа состоит из операции
циклического сдвига этих четырех объектов. Вот как можно представить
сдвиг на одну позицию:

на две позиции:

и на три:

Cy

124

cli

ng

Эти сдвиги можно назвать: А, В, С и I. Тогда A + C означает сдвиг
на 1 + 3 позиции, что дает 4 позиции, или нейтральную операцию!
Нетрудно составить полную «таблицу сложения» на множестве этих
четырех элементов: три плюс нейтральная.

Это не числа,
но они
обладают своей
арифметикой.

Несмотря на тривиальность примера,
в нем заключена мощная идея: возможность оценить свойства системы
операций, определяемой «таблицей
сложения». Нам не нужны примеры
систем в физических процессах, таких как движение, или алгебраических
объектах, таких как корни уравнений.
Структура сама определяет себя. Такие
структуры не обязательно должны быть
группами; может существовать второй
набор сочетаний, своего рода «таблица
умножения».
125

Булева алгебра
Вскоре ученые обратили внимание на другие операции. Одним
из наиболее захватывающих достижений стало изобретение английского математика Джорджа
Буля (1815–1864), который применил математические методы
к сущностям, не поддающимся
количественной оценке, таким
как логические утверждения.
Я скромно назвал мои
попытки «законами
мышления».

В современной форме
это алгебра
комбинаций
множеств,
или булева
алгебра.

Это операция
«объединения»
(получающееся
множество содержит
все члены,
принадлежащие
исходным)...

...я предпочел бы не терять мои члены
в ходе операции, если это возможно…

…и «пересечение»
(получающееся множество
содержит только элементы,
входящие в исходные).

Булева алгебра вступает
в игру всегда, когда
появляется выбор
между вариантами. Она
подкарауливает нас, когда
мы выполняем поиск
в Интернете.

126

Представьте поиск рецепта пасхальных булочек с корицей. Мы набираем ключевые слова:
ПАСХАЛЬНЫЕ БУЛОЧКИ С КОРИЦЕЙ
Поисковый механизм задает нам вопрос, хотим ли мы получить сайты

Первый выбор нам даст все сайты, в которых присутствует хотя бы
одно из слов: «пасхальные», «булочки» или «с корицей». В терминах
диаграммы Венна имеем:

В терминах теории множеств это выглядит так: {пасхальные} + {булочки}
+ {с корицей}. Такой запрос даст ссылки на многие сайты, содержание
которых будет интересным, но не релевантным.
Но если нам нужны только «пасхальные булочки с корицей» и больше
ничего, нам нужны сайты, в которых есть все три слова: «пасхальные»,
«булочки» и «с корицей». Теперь картина выглядит иначе:

В терминах теории множеств
это выглядит так: {пасхальные}
X {булочки} X {с корицей}.
И тогда мы получим только
пасхальные булочки с корицей
и ничего другого.
127

«Арифметика» булевой алгебры интересна тем, что, в отличие от обычной арифметики, имеет два отношения «дистрибутивности»:
A X (B + C) = (A X C)

и

A + (B X C) = (A + C)

В обычной арифметике первое возможно, второе — нет. Но для множеств, где «X» означает пересечение, а «+» — объединение, возможны
обе операции, как показано на диаграмме Венна.
Вот «закон дистрибутивности» для случая с числами:

Примеры, подобные этим, дали математикам огромный простор для
воображения. «Арифметика», изучаемая математиками, стала совсем
другой по сравнению с применимой к числам.
128

Кантор и множества
Пока некоторые беспокоились о числах, другие сконцентрировались на
бесконечности. Множества, действительно бесконечные, ранее были
предметом спекуляций, математических и мистических. Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918)
сделал смелый шаг к приручению
бесконечности.
Я показал, как создавать
подобные множества,
а также преуспел в их
перечислении.

Он предложил схему перечисления всех дробных чисел, используя
следующий шаблон.

Это шутка, что
уже слишком
поздно «скакать
галопом»?

Вот как выглядит правило перечисления всех дробей. Начиная
с левого верхнего квадрата, движемся по диагонали вниз и влево,
из 2/1, затем из 3/1 и так далее.
По мере продвижения проверяем,
было ли число посчитано до этого
(например, 2/4 = 1/2), и пропускаем
дробь, если она уже встречалась,
иначе включаем в подсчет. Дополнительно сокращаем дроби до несократимого числа, например 2/1 = 2.

129

Сеты…
Теннис…
Понимаете?*

Сеты…
Теннис…
Понимаете?*

Set

Вы замолчите? Я
пытаюсь разобраться
в математике!

В результате получается последовательность:
1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 5 ...
Как видите, сначала перечисляются все дроби (включая целые), в которых числитель и знаменатель в сумме дают 2, затем 3, затем 4 и так
далее, и каждый раз перечисление начинается с дроби, имеющей наибольший числитель. В конечном итоге так можно перечислить каждое
число, целое или дробь.
Точно так же можно перечислить все числа, являющиеся решениями
алгебраических уравнений, такие как √2
или √(–1).

Но есть еще
другие дроби,
такие как π и e,
и многие, многие
другие.

130

Работы Кантора на самом деле доказали прямо противоположное тому,
что он хотел доказать. Он обнаружил, что множество «вещественных
чисел», точек на линии, неисчислимо. Его доказательство занимало
всего несколько строк, но его нужно рассмотреть подробнее!
Представим, что мы перечислили все числа, как в случае с дробями и алгебраическими числами. В результате получился бесконечно
длинный список, как тот, что мы составили выше. Теперь, как в случае
с дробями, числа будут расположены не по порядку.
Для простоты возьмем все числа между
нулем и единицей и составим список из
их десятичных представлений. Вот как
мог бы выглядеть такой список:
N1 =
N2 =
N3 =
N4 =
……

0,7166932…
0,4225896…
0,7796419…
0,3228952…

.
.
.
.

Точки в конце каждой
строки цифр означают, что это бесконечная строка.
А строка точек после N4 означает, что последовательность чисел N
также бесконечна.
Теперь, если предположить, что
в этот список включены все
«вещественные числа», значит,
любое число, которое можно
построить, уже содержится где-то
в списке.

А если нет —
придется
признать, что
мы не смогли
включить в
список все
вещественные
числа.

131

Можно ли создать число, которого нет в этом списке? Предположим,
что у нас есть число, отличающееся от первого первым разрядом, от
второго — вторым, от третьего — третьим, от четвертого — четвертым,
и т. д. Мы можем создать число, соДля списка,
держащее любую цифру в каждом
который мы
разряде на единицу больше, чем
создали сначала…
цифра в том же разряде в числе,
которое присутствует в списке.

1-е
2-е
3-е
4-е

место
место
место
место

Как видите, фактические цифры, которые мы
укажем, не играют никакой роли. Они могут
быть совершенно другими; сути это не меняет.
То есть новое число, которое мы можем назвать
«странным», теперь равно (для списка, который
был в начале) S = 0,8309……
И вот кульминация…

S присутствует
в списке?

132

Ни на первом
месте, ни на
втором, ни на
третьем, ни…
его нет!

Поэтому наше
предположение,
что мы можем
перечислить все
действительные
числа — ЛОЖНО!

Кантор работал с двумя уровнями бесконечности: перечислимыми
множествами (как, например, обычные числа) и точками на прямой.
Как они могут быть связаны? Затем он получил способ генерировать
и описывать бесконечности высших порядков! Для демонстрации используем идею «подмножества». Если у нас есть множество из трех
элементов, a, b и с, тогда его подмножествами являются пары ab, ac и
bc, единичные элементы a, b и c, «пустое» множество (не содержащее
ни одного члена), а также само множество.

Подсчитав их количество, мы видим, что оно равно 8, или 23. Это новое множество называется множеством всех подмножеств исходного
множества, или мощностью множества; и если исходное множество
содержит N элементов, то множество всех его подмножеств содержит
2N элементов.
Теперь Кантор мог создавать еще большие множества, просто как
множества всех подмножеств один за одним. Он создал новый символ
«размера» для этих множеств. Точнее, будучи иудеем, он адаптировал
старую букву алеф из иврита, или . Теперь если перечислить множества размера алеф-нуль, или 0, его множество всех подмножеств
будет равно 2
и так далее.

С другой стороны,
множество действительных
чисел на прямой, первое
несчетное множество, имеет
мощность № 1.

Разумным выглядит предположение,
что 2х0 равно № 1,
но эта гипотеза вводила
в сомнения математиков
в течение целых поколений.
НЕВОЗМОЖНО?

133

Слухи по поводу
бесконечностей, подобных
этой, завораживали и
озадачивали, но затем
случилась беда.

Когда говорят о «множествах» в таком общем смысле, вряд ли можно
удержаться и не поговорить о «множестве всех множеств» — в этом
есть какой-то грамматический смысл,
не так ли? Раз так, должно быть наибольшее множество из всех, чей размер
будет точно равен алефу, назовем его F. Но, как и у любого другого множества,
у него должно быть множество всех подмножеств, число которых равно 2 и
оно значительно превосходит F. Тогда мы определили самое большое множество, которое содержит все множества, и с его помощью можно получить
еще большее. Эта идея противоречит сама себе!
F

Это было похоже
на месть всех детей,
которых учителя
осаживали, когда
они спрашивали
о последнем числе.

134

Кризис математики
Парадокс бесконечности, открытой Кантором, представлял новый тип проблемы в математике. Это был уже не
просто случай, когда математический объект как будто бы
противоречит интуиции, как, например, √–1 или dx/dt.
Теперь объект противоречил самому себе. Он выводился
из своих аргументов, не отличающихся от всех остальных
в обычной математике.

Математика
оказалась
в состоянии
кризиса.

В начале ХХ столетия математики и философы подошли
к разрешению этого кризиса. Они спросили...

Математика
разрушает свое
собственное
основание?

Рассел и математическая истина
Среди тех, кто стремился разрешить этот кризис, был Бертран Рассел (1872–1970). В ходе
своей долгой карьеры он занимался логикой,
философией, прогрессивным обучением и, наконец, гражданским неповиновением в знак
протеста против ядерного оружия. С его точки
зрения, математика единственная представляла подлинную истину в мире, в противоположность поддельным заявлениям религии.

Я (как и другие)
изучал логические
парадоксы, чтобы
понять, где кроется
ошибка в выводах
Кантора.

Еще со времен античной
Греции известно, что многое может зависеть от использования слова «все»,
как во фразе «множество
всех множеств».

Другие зависят от ссылок на
самих себя, как, например…

Если утверждение в кавычках
истинно, тогда его содержание
должно быть ложно...

…«это
утверждение
ложно».

136

...но если утверждение
в кавычках ложно, тогда его
содержимое должно быть истинно!

Один из самых неординарных парадоксов связан с названиями. Определим «В» как «наименьшее целое, которое нельзя описать меньше чем
24 слогами». Обычно это должно быть очень большое число с 24 слогами, например, название «семь сотен тысяч миллионов миллиардов»
содержит только 13 слогов.
Но парадокс в том, что
само описание «В»
содержит только 23
слога!

(Сосчитайте!)
То есть «В»
можно описать
меньше
чем с
с помощью
меньше чем
помощью
24
24слогов!
слогов!

Название
получается довольно
странным, но не важно;
это название, и оно
противоречит само
себе!

Это очень сложный парадокс, хотя он не содержит ни ссылки на самого
себя, ни претендует на универсальность. Он показывает, как трудно
спасти определенность в математике, прибирая ее логические основы.
Поэтому данная кампания была заброшена даже самим Расселом.
Единственный выход —
запретить утверждения,
ссылающиеся на самих себя.

Но узаконить такое
«прямолинейное мышление»
непросто...

...поэтому могут появляться
137
другие парадоксы.

В последней
попытке защитить
математическую истину
была разработана еще
одна линия атаки.

«Доказательством» мог бы быть набор
строк символов, объединенных правилами преобразований. Задача состояла
в том, чтобы показать, что «действительные» доказательства можно отличать от недействительных, и доказать
истинность или ложность каждого математического утверждения.

138

Взглянуть на
математические
аргументы как на чистые
формализмы, коллекции
символов, и посмотреть,
могут ли они быть
таковыми.

Однако эта
программа
вскоре была
взорвана одним
блистательным
молодым ученым,
мною, Куртом
Геделем.

Теорема Геделя
Курт Гедель (1906–1978) опубликовал свою теорему в 1931 году в ответ на трехтомную работу по символической логике Альфреда Уайтхеда (1861–1947) и Рассела, Принципы математики (1910–1913).
Моя теорема
доказала, что любая
согласованная
математическая система
должна быть
неполной…

…это значит, что в любой
системе можно построить
такую формулу, которую
нельзя ни доказать, ни
опровергнуть в рамках
этой системы.

Более того,
нельзя доказать
согласованность
любой математической
системы без
использования аксиом,
лежащих вне ее.

Задавая конечное
число аксиом и
правила вывода из
них других аксиом,
мы всегда, если
система согласована…

…сможем
выразить по
меньшей мере
одно верное
утверждение,
которое система
не сможет
доказать.

139

Его идея состояла в том, чтобы использовать числа по-новому. Он присвоил
число каждой части математического утверждения, а затем объединил их,
чтобы присвоить уникальное число каждому утверждению. Затем, почти
как Кантор, создал «монструозное» число, представляющее значимое
утверждение, но которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема Геделя
раз и навсегда
покончила с мечтой,
что математика может
стать логически
стройным зданием
истины.

140

Машина Тьюринга
Из разрушительной работы Геделя возникла другая интересная
идея — идея генерации математических утверждений полностью
абстрактным способом, поднятая
Аланом Тьюрингом (1912–1954).

В моих руках она
превратилась в
описание компьютера,
сильно отличавшегося
от механического
калькулятора.

«Машина Тьюринга» состояла из
ленты и программы, которая реагировала на информацию в каждой
последующей секции ленты и выполняла элементарные операции.
Учитывая уровень развития технологии в 1930-х, эта идея не имела
никакого практического применения. Но она позволила Тьюрингу
получить версии методов Геделя,
которые он хотел применить в своей научной работе.
Вскоре идеи Тьюринга нашли
практическое применение и легли
в основу разработки компьютеров
во время Второй мировой войны.
Сначала появились огромные вычислительные машины, в которых
программы задавались снаружи
(с помощью кнопок и переключателей). Ситуация кардинально изменилась, когда программы стали
размещаться внутри компьютера,
в специальном файле, координировавшем операции со всеми
остальными устройствами. С этого
момента исчезли ограничения на
сложность или гибкость.

141

Тьюринг сам внес свой вклад в победу, участвуя в команде, которая
взломала код немецкой шифровальной машины «Энигма». Он трагически погиб, как предполагается, из-за того, что его преследовали (и осудили) за гомосексуализм. Его обнаружили с признаками отравления
цианидом, а рядом нашли отравленное яблоко, надкушенное с одной

стороны. Как показало время, представления самого Тьюринга об абстрактном компьютере были отчасти ошибочными. В его схеме простых
операций не было места для программных ошибок, которые бы требовали
«отладки». Десятилетиями компьютеры считались
непогрешимыми; любые ошибки были
результатом ошибок человека.
И только теперь с открытием «ошибки тысячелетия» мы все поняли, что абстрактные,
формальные системы компьютерной
теории и компьютерные программы
вовсе не божественная истина,
а произведения
человеческого
разума.
142

С ростом мощности компьютеры стали оказывать влияние на саму
математику. Компьютерная графика привела к появлению нового типа
геометрии, известной как фрактальная геометрия, составленная
из особых нерегулярных фигур. Эти фигуры «самоподобны», в том
смысле, что любая подсистема фрактальной системы эквивалентна
всей системе.

Фракталы —
удивительно красивые конструкции, очень сложные и в то
же время простые. Сложные, потому что состоят из бесконечного числа
элементов и обладают уникальными
математическими свойствами (нет
двух одинаковых фракталов). И простые, потому что создаются с помощью простых операций.

Начнем с простого выражения вида x2 + y, где x — комплексное
число, которое можно изменять, а y — фиксированное комплексное
число. Определим два комплексных числа, попросим компьютер
сложить их и подставим результат вместо x в следующей итерации
(и в итерации, следующей за этой, и т. д.). Результат впечатляет.
143

Мое имя связано
со знаменитым
фракталом на с. 143,
который называется
«множеством
Мандельброта».

144

Теория хаоса
Теория хаоса описывает феномен, не являющийся
случайным, который можно описать посредством
дифференциальных уравнений и в то же время
невозможно предсказать. Причина в том, что
даже небольшие изменения в начальных условиях
могут приводить к существенным изменениям
в поведении решения. Классическое утверждение
(на самом деле преувеличенное) этого свойства
заключается в том,
…что взмах
крыльев бабочки
может породить
тайфун.

Хаотическое поведение тесно связано с фрактальными свойствами системы. Речь идет о самоподобии, поэтому, меняя
масштаб описания поведения, мы видим такой же характер
изменчивости. Многие явления, кажущиеся случайными, такие
как изменение стоимости ценных бумаг на рынке, фактически
обладают свойством самоподобия. Поэтому теорию хаоса можно
использовать для управления портфелями акций.

145

Возможно, самый важный
вклад теории хаоса в наше
понимание математики
заключается в том, что
она сделала невежество
респектабельным.
Она дала математикам
задачи, которые связаны
с невозможностью
детальных знаний.

Теперь же все
былое выглядит
частью прогресса —
оно отражает
продолжительные
изменения в
восприятии
математики.

146

Впервые, когда
определенность математики
дала трещину из-за
открытия парадоксов
бесконечности где-то
в начале ХХ века, возникло
ощущение «кризиса
основания».

Топология
Рост мощности компьютеров отражается на математике еще одним,
более значимым способом. С помощью компьютеров удалось получить
доказательства, непосильные для человеческого мозга. Самый знаменитый из недавних случаев произошел в области топологии. Топология
изучает отношения между различными структурами, независимо от
их точной формы. Ее можно считать областью математики, в которой
задачи легко формулируются, но сложно решаются.
Одной из наиболее трудных топологических задач — это «теорема о четырех красках». Она утверждает, что любую карту можно окрасить, используя только четыре цвета, при этом никакие
две страны с общей границей не будут окрашены в один и тот же цвет. (Точка не считается общей границей; иначе можно было
бы представить «карту» в виде круговой
диаграммы, для окраски которой потребовалось бы число цветов, совпадающее
с числом секторов.) Единственное ограничение: «страна» должна быть единым
участком земли без разрывов, и никакая
страна не может иметь «остров» внутри
другой (как, например, в случае Италии и Швейцарией около Лугано).

Каждый может
поэкспериментировать
с картами извилистых,
пересекающихся
стран и посмотреть,
достаточно ли четырех
цветов!

147

Исследуя задачу о четырех
цветах, математики
обнаружили, что важную роль
играет форма «мира».

Для тора (форма
пончика) относительно
легко доказать, что
достаточно пять
цветов.

Но для сферы или
плоскости дело обстоит
значительно сложнее.

Наконец, доказательство появилось в 1976 году. Но оно зависело
от детального исследования более чем тысячи случаев, что явно за
пределами человеческих возможностей. Поэтому для тестирования
каждого из особых случаев была создана компьютерная программа;
и она работала, давая ожидаемый результат.
Но затем математики поняли, что не могут проверить доказательство!
Компьютерная программа — это не последовательность логически связанных выражений, а набор инструкций. Можем ли мы быть уверены, что
конкретная программа (в отличие от других) была отлажена абсолютно
безупречно? Наконец, консенсус все же был достигнут, и доказательство
теперь признано «действительным».
148

Теория чисел
Задачи в теории чисел, так же как в топологии, легко описываются
и трудно доказываются.
Например, есть
«теорема», согласно
которой каждое четное
можно представить как
сумму двух простых
чисел.

Вот мы
и попробуем...

Хорошо,
продолжайте.

Доказать справедливость этой теоремы
для всех четных чисел сложно. Долгое время эта задача оставалась настоящим вызовом для математиков. Первая
успешная атака на нее, известная как «гипотеза Гольдбаха», показала,
что потребуется не более 400 000 простых чисел!

Я собрал всех главных
подозреваемых,
мистер Холмс.

Показывайте
их одного
за другим,
сержант.

149

Наиболее известной теоремой
в теории чисел является теорема
французского математика Пьера
де Ферма (1601–1665).

И Пьер Ферма считал, что сделал
это, думая, что смог доказать отсутствие целочисленных решений…
xn + yn = zn
для n больше 2.
Он написал другу, что нашел короткое и изящное доказательство, но
оно не поместится на полях письма!
Так началась погоня, которая продолжалась три века и закончилась
совсем недавно. Доказательство
было найдено английским математиком Эндрю Уайлсом (родился
в 1953 г.), который сейчас преподает в Принстонском университете.

Она берет
свои истоки из
моих размышлений
об одном из самых
старых математических
отношений, теореме
Пифагора. Утверждается,
что существует
«бесконечно» много
решений уравнения...

a2 + b2 = c2,
где a, b и c являются целыми. Построением таких троек чисел занимались на протяжении многих
веков.
Мы видели, что мусульманские
математики думали об этом отношении для уравнений более высоких степеней. Некоторые даже
пытались доказать, что невозможно найти примеры чисел, удовлетворяющих:
x3 + y3 = z3.
150

Оно основано на
глубоко абстрактной
математике и состоит
из тысяч строк,
включая сотни
вычислений
и логических
связей.

Это лишний раз подтверждает,
что человеческий разум способен
справляться с задачами, пока непосильными для компьютеров!

Теория чисел традиционно была одной из наименее практичных отраслей
математики. Но по мере развития различные области знаний начинают
вступать в соприкосновение самыми неожиданными способами.
Наука

Наука
«криптография»
криптография
(изучающая составление
составление
(изучающая
взлом шифров)
шифров)
иивзлом
традиционно
традиционно представляла
представляла
интерес
только
интерес
только
для солдат
для военных
и шпионов.
и шпионов.

Но она вдруг стала иметь большое коммерческое, технологическое и политическое значение, поскольку безопасность
сообщений, посланных через
Интернет, полностью зависит
от сложности взлома шифра.

С этим
Лучший способ создать шифр —
С этим
что-то
что-то нужно
нужно
делать!
использовать очень большие чисделать!
ла, простые множители которых
нельзя легко вычислить. Определение таких
чисел и разработка методов их конструирования и разложения на простые множители
основаны на теории чисел и групп. То есть даже
самые абстрактные области математики теперь
могут оказаться на переднем крае практического
применения. Поскольку правительства весьма
заинтересованы в возможности перехватывать
и расшифровывать любые сообщения, которые могут посылаться преступниками или террористами,
эта проблема приобрела также яркий политический
характер.

151

Статистика
Наибольшее влияние на жизнь простых граждан оказывает раздел
математики, который называется статистикой. Этот термин означает
«государственное управление», поскольку правительства понимают,
что лучше справятся со своей работой, если будут иметь информацию
о происходящем в государстве. Но просто собрать огромное количество
чисел недостаточно; чтобы они стали полезными, их нужно сгруппировать, проанализировать и обобщить.
В этой работе используются различные статистические показатели,
такие как «среднее». Но эти числа являются лишь представителями
множества; в одних случаях они помогают вскрыть и прояснить картину,
а в других могут использоваться, чтобы скрыть и исказить ее.
Чтобы понять, как работает статистика, представьте деревню,
где сто крестьян зарабатывают в год жалкие 100 долларов,

десять фермеров зарабатывают неплохие
1000 долларов,

а один домовладелец — шикарные
10 000 долларов.

Общий доход жителей деревни составляет 30 000 долларов и делится на 111 домохозяйств, что дает скромные
270 долларов в год.
152

Соответственно,
«средний» доход
почти в три раза
превышает доход
большинства
людей!

Вместо этого мы могли бы взять медианный доход (меньше которого
имеют 50% жителей) или модальный (доход, получаемый большинством). В обоих случаях это будет 100 долларов, и в обоих случаях
игнорируются те, кому повезло больше. Чтобы точнее представить распределение доходов, мы могли бы привести нижний и верхний децили
(10 и 90% уровни); 90% дециль захватит одиннадцать домохозяйств
с уровнем дохода выше среднего.
Но даже при
всех этих
усовершенствованиях
ни один из
статистических
показателей доходов
домохозяйств
не включает
транснациональную
агропромышленную
фирму, которая
продает все семена
и покупает всю
сельскохозяйственную
продукцию,
произведенную
в деревне.

Они обдирают
нас как липку.

Этот последний пример
напоминает нам, что не существует абсолютно объективного, нейтрального статистического представления.
Cо статистикой лгать действительно легко.

В числе их
грязных трюков —
графики без
базовой линии
или масштаба и
картинки, на которых
увеличение на 50%
создает впечатление
четырехкратного
роста.
Но это не
означает, что
вся статистика
является продуктом
несправедливости,
лжи или
коррупции!

153

P-значения и выбросы
Для всех статистических критериев значимости приводится число,
которое называется доверительным пределом или p-значением. Это
может быть 5%, 1% или другое число (например, 95, 99%). Грубо говоря, оно означает степень достоверности, гарантируемой критерием, и
выражает шансы (20 к 1 или 100 к 1) ложноположительного результата.
Никакой критерий не может дать идеальных результатов! Чем выше
уровень достоверности, тем дороже обходится критерий; поэтому те, кто
устанавливает стандарты для конк